следует из того, что каждый угол а указанного параксиального луча больше соответственного угла луча, проходящего через

точку М, в Д- раз, т. е. в (1 - е) а раз.

В результате получаем окончательно

Р = (а -Р + 4а(а-a)2W + -f а (а - а) [2а (2 + я) - а]; W = {а - ayw + а{а - а){2 + я).

(III.25)

В некоторых случаях желательно иметь выражение Р и W через Р а W.3 формул (II 1.25) получаем

(а - а)з W =

{P - 4aW + a(a - a) [(4-f-2я)а + а]}; 1

[W-a{a - a) (2+ я)].

(III.25f)

(а-а)

В более общем случае, когда и п не равны, формулы для Р, W и я принимают вид

пР = {па - naf Р + ппа {па - naf (4 W - 1) +

-2кУ

(III.25**)

+ пп а {па - «а), = {па - naf Р + Annа {па - naf W + + ппа {па - па) [2«а (з - «/г - па ==

= /гфФ + Annah\W + /гпа/гф х X [2па (2 + пп) - па];

nW = {па - па) W -f апп {па - па) + я) ; , VI / Ах \ ап -an

При этом «1 = 0; а = 1.

Формула (II 1.25) позволяет, зная Р;, и Я; получить величины Р(, Wi и л;,- и обратно.

Таким образом, величины Р, W и я, зависящие только от внутренних элементов компонента (от радиусов поверхностей и от показателей преломления стекол), являются параметрами, полностью определяющими все аберрации третьего порядка монохроматического луча при любом положении предмета и любом положении входного зрачка. В дальнейшем мы будем называть эти величины основными параметрами оптической системы; они определяют, как показывают вычисления, не только аберрации третьего

порядка, но в значительной степени и аберрации более высокого порядка.

Зависимость всех аберраций третьего порядка от трехвеличин характерна для бесконечно тонких систем, состоящих из единственного сложного компонента, и является их главным отличием от систем с конечной толщиной линз, у которых аберрации зависят от пяти параметров 5j, . . ., 5у, совершенно друг от друга не зависящих. Другими словами, у бесконечно тонких систем, не имеющих конечных расстояний между линзами, пять аберраций зависят только от трех величин так, как будто они связаны между собой двумя соотношениями, т. е. две из пяти аберраций вполне определены и не могут быть по произволу изменены, если только заданы остальные три.

То же самое происходит с хроматическими аберрациями положения и увеличений. В то время как у системы конечной толщины эти две аберрации независимы друг от друга, у бесконечно тонких компонентов они зависят от одной и той же величины Q; поэтому если одна из них задана, то вторая тем самым определена.

Естественно, что переход от свойств бесконечно тонкой системы к свойствам системы с конечными толщинами при непрерывном увеличении толщин происходит не скачком, а постепенно. Если в первой системе две любые аберрации Зейделя вполне определяются заданием остальных трех, то у систем сравнительно тонких линз существует некоторая, уже не такая тесная, но все же вполне ощутимая, связь между двумя заданными аберрациями и тремя остальными - связь, выражающаяся обычно в том, что при заданных трех суммах остальные две могут изменяться только в узких границах. По мере увеличения толщины системы эти границы все более и более расширяются, и при достаточно больших толщинах может наступить полная независимость сумм друг от друга. Это обстоятельство чрезвычайно важно и всегда должно быть принято во внимание при расчете; в противном случае желание придать во что бы то ни стало некоторым аберрациям определенные значения, удерживая и остальные в узких границах, приводит к многочисленным попыткам, заранее обреченным на неудачу.

Еще раз подчеркиваем, что эта взаимная зависимость аберраций третьего порядка существует только у бесконечно тонких систем, состоящих из одного компонента. Наличие нескольких компонентов совершенно меняет дело, если только параметры h и у, зависящие от взаимного расположения и оптических сил отдельных компонентов, могут быть изменяемы в достаточно больших пределах и могут служить добавочными параметрами. Но если эти величины связаны какими-нибудь добавочными условиями, например габаритными требованиями, что часто встречается на практике, то общий закон о зависимости двух аберраций от остальных трех (для монохроматического луча) и второй хроматической аберрации от первой остается в силе.

Ниже даны численные примеры применения формул (1П.25). Пример 1. Рассмотрим случай плоско-выпуклой простой линзы, обращенной плоскостью к предмету. Пусть ее показатель преломления равен 1,5. Определим величины Р и W при увеличении - 1. С этой целью можно сначала найти величины Р и W и затем перейти при по.мощи формулы (111.25) к величинам Р н W.

Когда предмет на бесконечности, «1 = 0, = О вследствие того, что первая поверхность линзы плоская, и ag равно единице по условию. Имеем следующие значения для Р, W и я:

1-±-п

1=3;

1=9:

я = ~ = = 0,67. п 3

Для перехода к величинам W я Р надо сначала условиться относительно выбора формул для вычислений аберраций, так как в нашем распоряжении имеются две формулы (11.45) и (11.47) гл. П. В данном случае воспользуемся формулой (11.45), в которой ар принимается равным единице. Так как увеличение нашей? линзы - 1, то величина а = а равна - 1, а величина а = а равна +1.

Итак, в формуле (111.25) а = -1; а = -\-\; а - а = 2. Тогда 4

Р = 23P - 4-22W- 1.2[-2(2,67)- 1] =

= 8P-16W+ 12,67; «7 = 4W - 2 2,67 = 4W - 5,33. Подставляя вместо Р и W их значения 9 и 3, получаем Р = 72 - 48 + 12,67 = 36,67; Г = 12 - 5,33 = 6,67.

Для контроля вычислим непосредственно Р и W через величины а и п. Для этого надо определить величину а2, вследствие

того, что первая поверхность плоская, а = -= -0,667.

Результаты, приведенные в табл. 111.1, совпадают с ранее полученными.

Пример 2. Вычислить сферическую аберрацию сложной линзы, апланатической для бесконечно удаленного предмета, в том случае, когда источник находится на расстоянии тройного фокусного расстояния от линзы. У этой линзы Р и W должны равняться нулю, так как она должна быть апланатической, т. е. не иметь ни

1 Л \j Л п ц а 111.1

сферической аберрации, ни комы при бесконечно удаленном предмете. Третий основной параметр я для большинства тонких линз равен 0,70. Из условия, что предмет находится на расстоянии - ЗР от линзы, можно определить а и а. Формула

J 1 1

s S ~ f

дает

1 2

При этом s = 1,5Р; s -= -ЗР;

=- -2; 1

следовательно.

а S 2

Принимая а = ], получае.м а = -0,5; а -а == 1,5. Тогда

Р = - 0,5-1,5(-5,4-0,5 -1) = +2,78;

Г = - 0,5-1,5-2,7 = -2,02.

Поперечную сферическую аберрацию вычисляем по формуле (П.45):

- 2bgp = (Op Si, Si = fiP= l,5P-2,78 = 4,17P. Таким образом,

6g-p = -2,08P(o.

Пример 3. Вычислить основные параметры бесконечно тонкой системы, апланатической для увеличения-1. Из условий Si = = Sji = О вытекает, что величины Р и W данной системы должны равняться нулю. Но при увеличении -1 имеем а = -1, а = + 1, а следовательно (см. пример 1),

Р = 8Р-16W+ 12,67 = 0; = 4W - 5,33 = 0.

Отсюда

W= 1,33; P = -i-(16W- 12,67) = 1,08.

Ввиду важности формулы (111.25) рассмотрим еще ряд ее применений.

Некоторые свойства бесконечно тонких компонентов, вытекающие из теории основных параметров

Устранение сферической аберрации бесконечно тонкой системы для нескольких положений предмета. Продольная сферическая аберрация 6s для точки на оси системы связана с поперечной аберрацией bg формулой

bs = K,

где - угол луча в пространстве изображений с осью.

Поперечную аберрацию 6g- вычисляем по формуле (11.45), полагая, что п = \; = 0; Q = 0; сумму Sj определяем по, первой из формул (III.7), причем для бесконечно тонкой системы все hi равны между собой.

Положим, что угол а первого параксиального луча с осью после преломления через систему равен единице; тогда ввыражении для Р все hi равны s ~ расстоянию от системы до плоскости изображения. Так как

(.On =

где h - расстояние от оси до точки пересечения луча с системой, то по выполнении всех подстановок для продольной сферической аберрации бесконечно тонкой системы получим

(111.26)

Как нетрудно проверить, S = F

= F{\-a),

где F - фокусное расстояние системы. Подставляя в формулу (III.26) вместо Р его выражение из формулы (III.25) и помня, что а = +1, получаем

6s = - -]--(1 -a)2p + 4a(l-a)W + +a[2a(2+Jt)-l].

Располагая выражение в фигурных скобках по степеням а, получаем

6s = -4--[P-(2P-4W+ l)a~f . (P 4W + 4 + 2я)а2].

(111.27)

Требование уничтожения сферической аберрации для любого расстояния предмета, т. е. для любого а, приводит к уравнениям

Р = 0; 2P-4W+1=0;

p 4W + 4 + 2n = 0. Рещая эти уравнения, получаем

Р = 0; W = 0,25; я=:=--1,5.

(III.28)

Третье из этих условий практически невыполнимо, так как у всех известных тонких систем величина п колеблется между 0,3 и 0,8. Однако, если ограничиться условием, чтобы сферическая аберрация была достаточно мала при расстояниях предмета, не превосходящих 10-кратного фокусного расстояния, то условия Р = = О и W = 0,25 решают задачу достаточно удовлетворительно. Действительно, меньше 0,01, так что третьим членом формулы (111.27) можно пренебречь. С другой стороны, условие W = 0,25 сравнительно мало отличается от условия W = О, выполнение которого необходимо для устранения аберрации комы в рассматриваемой системе.

Обращение хода луча в бесконечно тонкой системе. Аберрации третьего порядка при обращении хода. Если перевернуть бесконечно тонкую систему таким образом, чтобы первая поверхность ее оказалась последней, то значения параметров Р и W в новом положении и при прежнем направлении луча, вообще говоря, не совпадают.

Чтобы получить новые значения, выраженные через старые, поступим следующим образом. Оставив систему в первоначальном положении, рассмотрим луч, проходящий через передний фокус системы и выходящий из нее параллельно оси; при этом примем, что а = 1; тогда а будет равняться 0. Применив формулы (II 1.25) для этого случая, получим для Р и W следующие выражения:

P = P + 4W-4-2; I

Когда система переворачивается, нетрудно видеть, что величины Р ц W для перевернутой системы равны соответственно только что вычисленным величинам Р и IF, но с обратным знаком. 17* 259