вого ПОЛЯ, где расположен рассматриваемый элемент. Теперь можно учесть тепло, выделяющееся в радиоэлементах, за счет превращения электрической энергии в тепловую. Поскольку удельное тепловыделение определяется как количество теплоты, выделяемой в единице объема за единицу времени, то можно просто прибавить соответствующий член к левой части уравнения

у у

05+1

(2.3)

Удельное тепловыделение д стоит в левой части уравнения потому, что оно вносит теплоту в рассматриваемый объем.

Теперь необходимо выразить плотности потоков / через температуру в узлах сетки (рис. 2.6). Для этого нужно прежде всего ввести нумерацию узлов сетки по координатам и времени. Залитые блоки радиоэлектронной аппаратуры чаще всего имеют прямоугольную форму, поэтому при построении уравнений мы применяем прямоугольную систему координат, в которой координатные :плоскости параллельны граням рассматриваемого прямоугольника. Толщину, ширину и высоту прямоугольника обозначим через /ж, 1у и /z, а шаги сетки в со-ответствуюнци направлениях мы уже обозначили через

Рис. 2.6. 54

Рис. 2.7.

hx, hy И hz. Следовательно, в каждом из направлений [получается /х/Лх, ly/hy и Iz/hz шагов соответственно.

При тепловых расчетах мы имеем дело с тепловыми потоками, которые определяются на гранях элементов, Р поэтому на поверхность рассматриваемой области должны выходить грани крайних элементов (рис. 2.7), 1 а граничные узлы должны располагаться на расстоянии половины соответствующего шага сетки от поверхности. I Если начало координат поместить в одной из вершин i прямоугольной области, то координаты узлов можно I определить следующим образом: ,т -= {х = (0,5 + О Л, у = (0,5 + j) А,

i -- 1, 2, ..., Ijl hjt

2 = (0,5-f) А

,/=1,2, /JA,, &=1,2, (2.4)

Номер шага по времени будем обозначать через 5, тогда текущее время в расчете определяется как про-Г: изведение i=sx. Чтобы выразить тепловые потоки через ; температуру в узлах сетки, воспользуемся гипотезой I о линейности свойств среды - законом Фурье. Этот за-. кон говорит о том, что плотность теплового потока между двумя точками пропорциональная разности температур между этими точками и обратно пропорцональна расстоянию между ними, например:

] = К (2.5)

Коэффициентом пропорциональности здесь служит коэффициент теплопроводности вещества К.

Запишем уравнения для плотностей всех шести потоков, входящих в уравнение теплового баланса:

(2.6)

Если теперь подставить значения плотностей потоков в уравнение (2.3), то получится известное уравнение теплопроводности, которое называют уравнением Фурье. Только уравнение Фурье обычно записывается в дифференциальной форме, а у нас оно получилось в разностной форме. В такой форме мы я будет это уравнение решать.

2.4. Формулировка задачи

Предположим, что блок радиоконструкции имеет прямоугольную форму (см. рис. 2.7). Внутри него находятся источники тепла - радиоэлементы, через которые протекает электрический ток. Попытаемся определить температуру в каждой точке блока в каждый момент времени. Для простоты будем считать, что блок однороден, т. е. входящие в него материалы имеют одинаковые удельную теплоемкость и коэффициент теплопроводности.

Следовательно, будем считать заданными размеры блока, координаты радиоэлементов, излучающих тепло, мощность тепловыделения, а также коэффициент теплопроводности и удельную теплоемкость. Кроме того, для решения нестационарной задачи должны быть заданы начальные и граничные условия.

В начальных условиях задачи необходимо указать температуру во всех точках блока в начальный момент времени. Обычно при рассмотрении переходных процессов за начальный момент времени выбирается момент включения электрических цепей. До этого момента температура во всех точках считается одинаковой и равной наружной температуре, например комнатной (20°С, или 293 К).

В граничных точках блока могут быть заданы различные граничные условия. Когда на границе задается значение самой функции, т. е. температура - это граничные условия I рода и решение получается наиболее простым. Однако, к сожалению, только при грубом упрощении нестационарной задачи можно считать температуру на поверхности блока заданной, например равной известной наружной температуре. Более близкими к реальным условиям в радиоаппаратуре являются граничные условия П рода, когда задаются плотности теплового потока по всей наружной поверхности блока. Мы будем решать задачу с граничными условиями П рода.

Плотность потока на поверхности определяется исходя из предположения, что потоки на границах блока пропорциональны перепаду температур на некотором расстоянии, равном hx, и что температура за пределами блока постоянна. Такие условия могут быть при охлаждении блока путем принудительного обдува воздухом постоянной температуры. Итак, плотность потока

[границе с нормалью х равна

(2.7)

Сравнивая (2.7) и (2.4), видим их полную аналогию, И в последнем случае величина Кг имеет смысл коэф-: фициента теплопроводности. Только это не теплопро-I водность материала блока, а теплопроводность интерва- ла, в который входит граница блока. Шаг fix введен : 6 выражение (2.7) искусственно лишь для того, чтобы , определить положение точки за контуром, в которой I температура считается известной. Этот шаг можно взять };таким же, как и внутри блока. При экспериментальном fизучен[1н теплопроводящих свойств границы раздела i; определяет непосредственно отнощение Kvjhx, которое называют коэффициентом теплоотдачи или теплооб-f. мена.

Для удобства вычислений следует преобразовать : уравнения (2.3) и (2.6), введя в них безразмерные мно-V Жители, Для этого левую и правую части умножают на шаг по времени т и делят на удельную теплоемкость С. Для величины плотностей потоков вводится новое обо- значение:

(2.8)

Вводится новое обозначение и для удельного тепловыделения:

I - с

В новых обозначениях уравнение (2.3) записывается в виде

I""- Г+ I+- r-f I+ r-f Q=:в + ~9 X X у у г г

(2.9)

Теперь и плотности потоков и удельное тепловыделение имеют одну и ту же размерность- размерность температуры и будут величинами одного порядка. Перейти от величин в новых обозначениях к величинам jB старых обозначениях не представляет труда, посколь-

ку шаги по координатам и времени мы выбираем сами, а удельная теплоемкость нам задана.

Для новых плотностей потоков теперь вместо (2.6) получаются выражения

(2.10)

Теперь размерные множители (шаги, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности) сгруппиро-

вались в виде множителей А:

K-Z „ Kz Кг

(2.11)

Поскольку единица коэффициента тепло-проводности равна 1 Дж/ (1 м • К - с), а удельной теплоемкости 1 Дж/(1 мК), коэффициенты А являются безразмерными величинами.

Предположим теперь, что наш блок сделан из алюминия, который имеет при комнатной температуре удельную теплоемкость около 2,4 МДж/(м-К) и коэффициент теплопроводности около 200 Дж/ (м -К-с). Предположим далее, что шаги по координатам выбраны одинаковыми и равными 1 см. Теперь, чтобы определить коэффициенты Л, остается только выбрать шаг по времени т.

Однако оказывается, что выбор шага по времени не такое простое дело. Чтобы поскорее лросчитать процесс на заданное время, т. е. чтобы в заданном интервале времени было поменьше шагов т, нужво выбирать шаг большим. Но если шаг т превысит некоторую критическую величину, то верного решения не получится. Решение будет неустойчивым. Условие устойчивости будет выполнено, если сумма всех шести коэффициентов в уравнениях (2.10) меньше единицы.

Поскольку коэффициенты одинаковы, можно положить каждый из них равным 1/6, и тогда шаг по времени составит 0,2 с.

Теперь определим величину удельного тепловыделения. Для упрогцения расчета предположим, что тепло выделяется только двумя радиоэлементами в точках а блока (см. рис. 2.7). Пусть мощность рассеяния каждого радиоэлемента составляет 1 Вт, т. е. 1 Дж/с и объем каждой детали 1 см. Тогда удельная -плотность тепловыделения в точках а будет равна q= - \ МДж/(мЗ-с), а приведенное тепловыделение

Q=qx\c=\ 000 000-0,2/24 000 0000,08 К.

Для полной формулировки задачи осталось теперь определить величину коэффициента теплопередачи на ; границе блока с воздухом. Величина эта может иметь самые различные значения. Для простоты примем ее равной 200 Дж/(м-К-с), т. е. будем вычислять потоки на границе с помощью того же коэффициента Л-1/6.

2.5. Включаем питание

Итак, температура во всех точках рассматриваемого блока РЭА равна 293 К (20Х). В начальный момент времени (=0) включают напряжение питания блока и начинают расчет. Для простоты перепишем все числовые значения в соотношении (2.9) и (2.10) и решим уравнение (2.9) относительно температуры в следующем шаге ;по времени:

+ 9J,*+. + в..fc-.l + 0,08. (2Л2)

Расчет можно начинать с любого узла модели и обиходить узлы в каждом шаге вычислений в любом порядке. При постановке задачи на ЦВМ узлы обходят [последовательно в направлении координатных осей. Но мы считаем медленнее ЦВМ, и нам лучше начинать расчет с узлов, где находятся источники тепла. В этих узлах через 0,2 с температура повысится и станет равной " =(20+20-f 20+20+20 + 20) /6 + 0,08=20,08Х

(рис. 2.8). В остальных узлах температура не меняется, потому что тепло в них не выделяется.

Запишем новые значения в таблицу (рис. 2.8). Для :рехмерной задачи и таблица должна быть «трехмср-юй». Ее можно составить из нескольких двухмерных Таблиц. Мы ограничимся двухмерной таблицей, считая