допускает различное толкование, особенно при решении более сложных задач, чем те, которые мы пока рассматриваем.

Програ!ММ,исту нужна строгая запись, от которой чисто формально можно перейти к программированию задачи на каком-либо алгоритмическом языке, например АЛГОЛ или ФОРТРАН, или к прог!рам.мИроваНИю в машинном коде.

Разностная схема и является той удобной и строгой формой зашои, которой пользуются при разностном решении задач. Она обычно содержит три основные части: разностное уравнение для вычисления искомых функций во всех внутренних узлах области, Граничные и начальные условия. В случае использования 7-точечного шаблона для вычисления прогибов балки разностную схему можно записать следующим образом.

Разностное уравнение

= (- <+з + + К,+1 +

+ П 1 + - К-з)/4. /И = 3, 4, . . . , 7.

Граничные условия

=0, W{-=WQ+ =0.09, К"- = (- К2 + Kl + 4lm~. - < 2)/б. = 2,8. (1.25)

Начальные условия (первое приближение) «т=ф(ш),

где ф(т) - заданная функция, т. е. значения прогибов в первом приближении.

После выражения, где номер узла т записан в общем виде, указывают номера узлов, для которых это выражение ггредназна-чено. Чем больше точек у шаблона, тем меньше BnyiipeHHHx узлов, для которых пригодно разностное уравнение. В нашем примере можно считать граничными три узла с каждой стороны балки. А граничные условия, записанные в дифференциальной форме (1.15), после апироксимации их разностньими выражениями, позволяют вычислить прогибы только в двух узлах с каждой стороны. В этом случае для вычисления функций в третьем узле можно использовать разностное уравнение, записанное на 5-точечном шаблоне (1.17). Так мы и записали в разностной схеме (1.25).

Но мы убедились, что уравнение (1.17) дает неустойчивое решение в tOiM случае, если с помощью этого уравнения вычисляются прогибы во всех узлах. Так что может получиться, что разностная схема (1.25) приводит к неустойчивому решению.

Проверим это.

В табл. 1.6 приведены результаты вычислений по разностной схеме (1.25). Мы видим, что накопления начальных погрешностей не происходит и процесс вычисления устойчив.

Обобщая сказанное выше, можно заключить, что одна и та же разностная формула на ограниченном числе узлов сетки может давать устойчивое решение, а цри большем числе узлов - неустойчивое. Если в нашем примере вычислять прогибы по формуле (1.17) во всех узлах 2 ... 5, то решение получается неустойчивым, а если по (1.17) рассчитывать прогибы только в двух узлах (2 и 5), то решение будет устойчивым.

Таблица Кб

В дальнейшем нас будут интересовать свойства самой разностной формулы (1.24), поэто1му лучше воспользоваться тем, что нам известны точные решения во всех узлах сетки и записать в узлах 2 и 5 точные значения: =W(. Тем самым мы

сохраняем в расчете только погрешности, вносимые формулой (1.24). В табл. 1.7 приведены результаты вычислений по формуле

Таблица 1.7

(1.24). На 15-iM приближении задача сходится, следовательно, процесс вычислений устойчив. Сравнивая табл. 1.5 и 1.7, видим, что в -последнем случае процесс сходится медленнее.

Отсюда можно сделать также вывод: различные сходящиеся итерационные ороцессы приводят к разному объему вычислений, Прогибы, приведенные в табл. 1.7, вычислялись с точностью до трех знаков после запятой. Однако после окончания итерационного процесса мы вновь не получили точных значений. Погрешность вычислений составляет две-три единицы младшего (третьего) разряда числа. Величина погрешности определяется числом знаков, до которых округляются результаты вычислений, и называется погрешностью округления.

1.15. Погрешности округления

Чтобы изучить погрешности 01кругления, продолжим вычисления с четырьмя значащими цифрами. В результате на 32-!М приближении итерационный процесс сноБа сходится, т. е. значащие цифры перестают изменяться (табл. 1.8). Теперь погрешность составляет

Таблица 1.8

три-четыре единицы четвертого раз1р,яда, при добавлении лишнего разряда точность вычислений П01вышается примерно на порядок. При расчетах стационарных процессов, если процесс вычислений устойчив, погрешности округления особых хлопот не доставляют. Они в последующих приближениях не накапливаются и остаются мень-ШИМР1 некоторой величины, зависящей от числа разрядов в числах. Другое дело расчеты нестационарных процессов, к которым мы (Перейдем в следующей главе.

Нестационарные процессы разностными метода.ми рассчитыва-ют последовательно во времени или, как говорят, по временным слоям. По данным, характеризующим состояние конструкции на предыдущих временных слоях, вычисляют искомые функции, определяющие состояние конструкции на следующем временном слое, или попросту в следующий момент времени. Итак процесс может продолжаться на несколько сотен, а иногда и тысяч шагов по времени. В таком процессе вычислений погрешности округления могут накапливаться. Что значит «накапливаться?» Это значит, что погрешность, возникшая в одном узле сетки, будет складываться пли вычитаться с другими погрешностями округления, вознпкающи-,мп в соседних узлах или в том же самом узле в последующих ша-тах зычислений по времени. Если погрешности вычитаются - это хорошо. Но какова гарантия того, что в каком-то участке сетки не произойдет сложения многих погрешностей и не получится весьма большая суммарная попрешиость?

ЧтОбы представить себе «поведение» погрешностей округления в последующи1х шагах вычислений, можно обратиться к следующему рассуждению. Погрешность округления можно рассматривать как некоторое возмущение, вносимое в анализируемый физический процесс извне. Действительно, предположим, что мы, рассчитывая нестационарное течение жидкости, допустили погрешность в вычислении давления в каком-то узле сетки. Эту погрешность можно рассматривать как изменение давления за счет некоторого кратковременного дополнительного потока (рис. 1.21). Нетрудно представить, что если в жидкость добавить лишнюю «каплю», то она растечется в разные стороны и добавление выровняется. Для процессов в жидкостях характерно затухание или релаксация внешних возмущений. Будут «затухать» и погрешности округления.

Рис. t.2t.

То же происходит с погреплносгями округления при расчетах тепловых процессов. Можно принять, что погрешность вычисления температуры возникает при повышении или понижении температуры вследствие кратковременного «включения» дополнительного теплового потока. «Порция» теплоты, вносимая этим потоком, будет «растекаться» к соседним узлам и погрешность будет уменьшаться.

Сложнее обстоит дело при расчетах физических процессов, где релаксации внешних возмущений не происходит, например при расчетах процессов вибраций. Если в расчете не учитываются потери энергии на внутреннее трение в материалах конструкции, то никакие возмущенл.я, в том числе и погрешности округления, в процессе расчета затухать не будут. Однако они могут быть случайно скомиенсированы погрешностями, возникающими в других узлах и в другое время. В противном случае погрешность округления, действующая как импульс силы в узле, вызовет в модели упругую волвду погрешностей. Эта волна будет распространяться в модели, отражаться от границ области, складываться с другими волнами, в том числе и с волнами вибраций, которые мы вычисляем.

Может ли оогрешность округления при сложении с другими погрешностями намного превзойти первоначальную величину? Иными словами, Могут ли три расчетах ироцесоов, где релаксация отсутствует, 1погреш;ности округления складываться достаточно долго, и суммарная -погрешность внесет существенные искажения в резуль-

1354

тат вычислений? Да, в принципе могут. Олнацо такое совпадеиие маловероятно. Например, если модель-сетка иМеет тысячу узлов я расчет производится на тысячу шагов по времени, вероятность возрастания погрешностей одрутления в 40 раз составляет 10~.

Таким образом, имея в запасе два-три лишних знаковых разряда в числах, можно в аналогичных задачах погрешности округления во внимание не принимать. Мы на примерах простых модельных задач познакомились со способами построения разностных схем и формой их записи и рассмотрели способы оценки «качества» полученных разностных схем. Схемы должны удовлетворять двум основным требованиям: обладать аппроксимацией и быть устойчивыми.

Далее мы перейдем к решению более сложных задач, встречающихся при констпунровании радиоаппаратуры.

2 ! ТЕПЛОВАЯ МОДЕЛЬ КОНСТРУКЦИИ

Одной из основных характеристик состояния вещества является его температура. От температуры зависят все свойства вещества - как механические так и электрические. Особенно сильно влияет температура на электрические свойства полупроводников. Так, при изменении температуры всего на несколько десятков градусов электропроводность германия и кремния может меняться в сотни раз. Кристалл, который при низких температурах мог служить изолятором, при высоких становится проводником (рис. 2.1). Поэтому одной из основных характеристик радиоэлементов или радиоэлектронного прибора является диапазон температур, в котором они надежно выполняют свои функции.

Радиоэлектронные устройства не предназначены для выполнения механической работы. Коэффициент полезного действия у них практически равен нулю. Вся или почти вся электрическая энергия, которую они потребляют, превращается в тепло.

Тепло выделяется, как правило, именно в тех участках, где это грозит выходом прибора из строя. Например, оно выделяется на закрытых р-п переходах транзисторов и диодов. Повышение температуры переходов увеличивает ток через них, а это, в свою очередь, вызывает увеличение рассеиваемой мощности, т. е. еще более интенсивное выделение тепла, и т. д. Получается лавинообразный процесс нарастания температуры. Если его вовремя не остановить, то произойдет тепловой пробой перехода. Остановить этот процесс можно только достаточно интенсивным охлаждением, например, с ломощью теплоотводов (радиаторов).

Однако уменьшение размеров и веса блоков, применение интегральных микросхем, интенсивный режим эксплуатации радиоаппаратуры часто в условиях повышен-