рис. 3.71. Причем процесс колебаний в обонх вариантах проходит примерно одинаково. Наблюдается только некоторое отклонение в скорости протекания процесса. Кстати, в случае свободных колебаний стержня имеется точное решение дифференциального уравиення, соответствующего нашему разностному уравнению.

Решение при Л = 1 соответствует точному решению и ие содержит погрениюстей дискретизации,

Разностное решение в этом случае позволяет определить такую важную характсрнстику движения, как резонансная частота. Период колебаний во втором случае равен 12 шагам т, следовательно, резонансная частота будет !31 Гц. В третьем случае наблюдается неустойчивость решения. Уже в четвертом-пятом шагах вычислений амплитуды иачгшают быстро нарастать, причем появляется чередование знаков в решении по координатам и времени (рис. 3,72).

Приведенные примеры расчетов показывают, что устойчивость решения зависит от величины коэффиннен-та Л, который определяется характеристиками материала стерлня и отнотением шага по времени к шагу по коордИпате. Неустойчивость появляется при коэффициенте А, превьинаюшем единицу, следовательно, критерий устойчивости разностного решения имеет вид

Интересно то, что этот «математический» критерии совпадает с некоторым «физическим»- критерием. Действительно, при расчетах с помощью полученных рекуррентных соотношений возмущение может передаваться от узла к узлу со скоростью, не превьпиающей отноще ния hxfx, поскольку в каждое такое уравнение входят перемещения только ближайших соседних узлов. Но это отношение мы выбираем сами. А что будет, если скорость распространения возмущений в действительности выше этого отношения? Тогда ничего похожего на действительный процесс в расчете не получим. Следовательно, физический критерий состоит в том, что «скорость счета» не должна быть меньше скорости распространения возмущений в среде.

В упругих средах скорэсть распространения постоянна и paj3Ha YE!p, отсюда физический критерий можно записать в виде ft/t =>[/Я/э или КЕх:(ок), т. е. физический и математический критерии совпадают.

Физический критерий можно сформулировать более строго, если вместо скорости распространения возмущений использовать понятие области определекия функции. В таком виде он называется критерием Фридрихса, Куранта и Левн [2]. Этот критерий является необходимым, но не достаточным. Чтобы определить достаточное условие устойчивости, применяется «испытание» разностной схемы с помощью теста «шахматная доска». Для этого всем искомым функциям на временных слоях t и (t-т) даются единичные значения со знаками, чередующимися по правилу «шахматной доски», и выч-исляется искомая функция в следующий момент времени (rft). Если эта функция окал<ется больше единицы по абсолютной величине, то решение будет неустойчивым.

Покажем, как анализируется устойчивость полученного разностного уравнения с помощью теста «шахматная доска» на примере уравнения (3,39) для пластин. Подставив и это уравнение единичные значения функций ео знаками, как на рис. 3.66, получим щ(./ + т) = 16(Л4-2В + С)-3<1.

Это и есть достаточный критерий устойчивости. Если шаги сетки по осям х п у выбраны одннаковыми. то А = =В=С и нол<но записать выражение для максимально допустимого значения коэффициента Л1/16,

Можно показать, что указанный способ определения устойчивости является необходимым и достаточным, т. е. если этот критерий не выполняется, то решение всегда будет неустойчивым и наоборот.

3.25. Неявные схемы

Шаги ио времени, -выбранные из условия устончи-зости вычислительного процесса, очень малы. Поэтому рассмотренные явные расчетные схемы пригодны лишь при решсиии задач, в которых интересующий нас процесс закаичнпается в доли секунды. Эти схемы непригодны, ec:iH процесс протекает медленно.

Возникает вопрос: как усовершенствовать расчетную схему, 4T0u[>[ повысить устойчивость процесса вычислений? Лбео.иотно устойчивыми раэностными схемами, некигтичными к выбору шагов по времени, являются так называемые неявные схемы. Неявные схемы имеют по сравнению .с явными ряд существенных преимуществ, в частности дают монотонные решения, не содержанщс

погрешностей в виде «рябн». Такие схемы позволяют вести расчеты с гораздо большими шагами по времени, чем явные, Неявные схемы легко получить из явных схем. Покажем, как эго делается.

Любое нз рассмотренных выше разностных \ равнений для расчета вибраций представляет собой второй закон Ньютона {Р=та], записанный в разностной форме.

Силу вычисляют в момент времени t, а для на.чож-дения ускорения а используют перемещения в у.зле модели-сетки в три момента времени или на трех временных слоях (f-т), t и (-ft), например:

[u{t~x) -2u-\-u{lAX)]lx\

В каждом уравненгнн получается одна неизвестная на верхнем временном слое (t-i-x), и это позволяет легко производить вычисления последовательно по временным слоям. В каждом шаге по времени по известным значениям перемещений на двух предыдущих временных слоях отыскиваются перемещения всех узлов модели иа счедующем временном слое (/-рт).

Чтобы из явной схемы [юлучнть неявную, можно, например, вычислять силу, как среднюю арифметическую от значения сил в два момента времени (-ft) и (t-т):

0,5[(/-Ьт) -i.F{t-t)]=ma. (3.72)

Во всех рассмотренных выше механических моделях правая часть в уравнениях движения однотипна, Оиа сохраняется и в уравнениях для неявной схемы (3.72). Основной задачей построения расчетной модели является указание способа зычнсления сил, действующих во всех узлах. Если разработан способ для вычисления сил в уравнеииях типа Р=та, то он легко переносится на уравнения для неявных схем (3.72). Физическая картина взаимодействия элементов в модели не изменяется. Таким образом, в явных -и неявных схемах используется одна и та же модель конструкпии.

Если изложенные выше способы построения моделей можно целиком распространить и на неявные схемы, то техника ныч1ислений прн использовании неявных ссм совершенно меняется. Если в уравнения вида Р=та входит по одной неизвестной на верхнем времеииом слое {t-x), то теперь нх в каждом уравнении вида (3.72) будет несколько. Эти неизвестные будут входить в выражение силы иа нерхнем временном слое. !8й

Число неизвестных в каждом уравнении будет равно числу неноцредственно связанных между собой элементов в модели или количеству точек в используемом шаблоне. Например, прн расчете упругих колебаний продольного стержня используется трехточечный шаблон и число неизвестных в каждом уравнении для внутренних узлов модели будет равно трем. Для расчета изгибных колебаний стержня используется 5-точечнын шаблон, а в общем случае трехмерного напряженного состояния - 19-точечнын. Число неизвестных в каждом уравнении будет соответствешю 5 или 19.

Если при ис1Юльзовании явных схем приходится решать отдельные уравнения, каждое относительно одного неизвестного, то при использовании неявных схем - системы из многих уравнений с многими неизвестными. Количество уравнений в системе будет равно числу узлов в модели, перемещения которых неизвестны, умно-жеииому на мерность задачи. Например, если модель монолит!10го блока прямоугольной формы содержит в направлепни каждой координаты но 10 узлоз и общее число узлов 1000, то придется в каждом шаге по времени решать систему нз 3000 уравнений с таким же числом неизвестных.

Таким образом, при использовании неявных схем возникает проблема решения систем большого числа алгебраических уравнений, Трудоемкость решения таких систем в общем случае очень велика. При решении задач разностными методами с применением неявных схем выручает то, что матрица коэффипиентов системы оказывается редко заполненной коэффициентами. Коэффициенты, отличные от нуля, группируются около г.:авной диагонали, образуя ленточную матрицу.

При решении одномерных задач (продольные или изгибныс колебания упругого стержня) коэффициенты образуют 3-пли 5-диагональную матрицу. При реикпии двухмерных и трехмерных задач матрица коэффициентов получается также ленточной, ио может содержать несколько лент, параллельных главной диагонали,

В теории разностных схем [1, 7, 8] разработаны очень экономичные методы решения систем уравнений с ленточными матрнпамн.

Одномерные задачи решают методом прогонки [1, 7]. При решении двухмерных и трехмерных за.тач используют метод суммарной аппроксимации, прн котором

15 каждом шаге по времени решение многомерной задачи заменяют решением двух или трех одномерных задач [7]

Применение метода еуммарной апнроксимадии при иепользованпи неявных схем часто позволяет уменьшить объем вычислений на несколько порядков. Объем вычислений получается ие на много большим, чем при исиользованнн явных схем, Однако программирование задач значительно усложняется.

Перспективы

Разностный метод решения задач при расчетах физических процессов в конструкциях РЭЛ, основы которого изложены в настоящей книге, является достаточно универсальным. Си позволяет строить модели для расчетов трехмерных иестациопарных процессов в весьма слож.ных конструкциях.

Мы ограничились только рассмотрением линейных задач. Метод позволяет достаточно просто строить модели и в случае нелинейных задач. В процессе решения в каждом узле моде.ти в каждом шаге по времени получают в-се искомые функции. Это дает возмолность в каждом шаге корректировать значеиня коэффициентов, характеризующих свойства материалов конструкции, а также геометрические соотношения, если они сильно изменяются в процессе деформирования конструкции.

Когда закон изменения искомых функций пп времени заранее нзвестен, можно время их расчетных соотношений исключить. В этом случае задача проще всего решается с помощью итерациопного процесса. Итерационные формулы такле легко получаются на основе выведенных уравнений.

Таким образом, применение разностных методов при решении задач на современных HBiM открывает широкие возможности анализа работы различных конструкций. Теоретически, разностным методом можно решить задачу любой сложности. При этом пстучение расчетных соотношений и программ ие встречает серьезных трудностей, Именно универсальность метода определила широкую популярность его среди конструкторов различного профиля. Ежегодно выходят десяткн книг и сотии статей, 1Юсвящепных усовершенствованию метода конечных разностей. Возникает вопрос: нужно ли тратить столько усилий на совершенствование метода, который уже теперь позволяет в принципе решать любую задачу? Дело в том, что принципиальная возхмол-ность никого из конструкторов не интересует, к прпктм-