(3.70)

Теперь мы имеем новые значения изгибающих моментов и перерезывающих сил и можем составить уравнения проекций моментов на координатные оси у и z:

2ср 4- у (X - А) 3 д + й-Л

£ + )

УС.у+0+2г + у( 4

h)

3 я+ b - ft

Ы(,-С - ft)

Y(x+ft) + 2Y + T(x-ft) 4

1 + -

•(б-г)

Сравнивая полученные выражения с уравнениями (3.60) и (3.61), видим, что для расчета изгнбных колебаний уголков можно пользоваться теми же уравнениями, что и для расчета стержней прямоугольного сечения. Изменен[1е коснулось только коэффициентов в уравнениях для определения углов поворота сечений перед членами, определяемыми перерезывающими силами, и коэф-финиентов в правой части уравнений.

Уравнение крутящих моментов (3.65) также останется без изменения, поскольку центральный момент инерции сечения и момент инерции элемента относительно оси X - величины пропорциональные, ио зиачеине крутящего момента будет другим:

(3.71)

Без изменения остаются и уравнения для расчета движения перекрестий стержней, только в случае уголков вместо прежних значений сил и моментов нужно брать новые значения (3.67) ... (3.71).

Строго говоря, полученные уравнения изгнбных колебаний верны, только когда «аправлеиие осей координат

стержня совпадает с направлением главных осей инерции сечений. В наших примерах такого совпадения нет, и это означает, что мы не учитываем кручения стержней прн изгнбных колебания.х. В нашем случае конструкция получается более жесткой, что приводит к некоторому завышениш скоростей протекания процессов.

3.24. Допустимый шаг по времени из условия устойчивости

Мы уже касались вопросов устойчивости (см. гл. 1). Теперь мы располагаем многими миделями и мо;ке.м распространить выводы на более широкий круг задач.

Все без исключения разностные уравнения, которые .мы получили, характеризуются периодическим чередованием знаков перед членами в левой и правой частях. Например, в уравнепии продольных колебаний стержня (З.Г)1) знаки чередовались, как 1юказано на рис. 3,66.(7. Чередование знаков в уравнении изгнбных колебании пластин происходит а направлении двух координат и времени (рис. 3,66,6).

В уравнениях для расчета процессов деформирования трехмерных упругих тел (3.12) чередование знаков происходит 3 направлении трех координат и времени, знаки чередуются по правилу шахматной лоскн (рис. 3.67). Такое чередование не случайно. Оно определяется физиче-

i7-r;

Рис. 3,66.

Трахмерные ше.па.

Рис. 3.67.

СКИМИ законами, которые используются при составлении уравнений. Например, прн выводе уравнении движения пластин использовались следующие представления: углы поворота сечений определялись разностью перемещений, кривизна или деформапии растяжения на поверхности - разностью углов поворота, вторая разность определяла также нормальные напряжения и изгибающие моменты, перерезывающие силы определялись разностью изгибающих и крутящих моментов, а в уравнение движения входила разность перерезывающих сил.

Рассмотрим уравнение продольных колебаний стержня (3.51). записанное в разностной форме. Преобразуем это уравнение к виду

и (Ч-т) = (2~2Д) у+Ли {х\К) Аы.{х~Ь.) -и (t-x), где Л-=Ят2/р/1.

Будем решать задачу о свободных колебаниях стерл<-ня. Для этого закрепим стержень по краям, т, е, введем граничные условия: при х=0 и=0 и при х-1 и=0. В качестве начальных условий возьмем отклонение узлог стержня от положения равновесия ио закону синуса, а скорости всех узлов примем равными нулю (рис. 3.68), Чтобы объем вычислений получился небольшим и можно было обойтись без вычислительной машины, возьмем по длине стержня только семь узлов, А чтобы удобнсй было строить график перемещений, будем их откладывать перпендикулярно оси стержня.

Задать указанные начальные условия можно следующим образом: в два начальных момента времени i и 176

{t-т) задать в каждом узле одинаковые перемещения (рис. 3,68). Тогда скорость каждого узла, определяемая разностью иеремещеиий по времени, будет равна нулю.

Теперь нам нужно выбрать шаг по времени. Для определенности положим, что длнЕга стержня имеет 6 м, модуль

Юнга материала Ю Па, платность 8-10 кг/м. Шаг по координате 1 м, а шаг по времени выберем так, чтобы безразмерный коэффициент Л принимал значения 0,5=0,25: 11 и 1,5=2,25, т. е. выполним три варианта расчета с шагами т, равными 316, 632 и 948 мкс. Шаги выбраны кратными наименьшему шагу, чтобы можно было сравнивать результаты трех сарнантив расчета.

Т а б л и ця 3,1

Вириаит /

A=D,25

Щ25 \ {( -rj\ Щ25

Г\ \15

Линия дырсза

Рис. 3.69.

12-421

Вариант 1 А0,5

Рас. 3.70.

Вычисления можно продолжить, занося результаты в табл. 3.1. Для удобства вычислений можно вьгрезат;. пгаблон (рис. 3.69). Шаблон накладывают на таблицу так, чтобы в нижней клетке шаблона открывалась очередная пустая клетка таблицы (рис. 3,70), а в четырех верхних клетках были цифры. Эти цифры умножают h:i соответствующие коэффициенты и складывают. Резуль тат записывают в нижнюю клетку. После этого шаблон сдвигают иа шаг вправо и вычисляется следующее значение и. После вычисления всех значений перемещении в очередной строке таблицы, т. с, в одном временном слое, и1аблои опускают на шаг по времени, т. е. на следующую строку, и т. д.

Результаты вычислений для трех значений шагов w: времени приведены в табл. 3.2-3.4. В табл. 3.2 и 3.3 ня

Таблица 3.2

Таблица 3.3

чальные условия были скорректированы в соответствии с увеличением шага по времеин. Расчет вели до тех пор. пока значения перемещений во всех узлах ие стаиови-Елись отрицательными, т. е. несколько больше, чем иа !четверть периода. В двух первых случаях это удалось.

Графики перемещений для этих случаев показаны иа

/!=о/5

fnc. гл.

Рис. 3.72.

17<>