должно быть дополнено начальными п граничпымн условиями. в начальных условиях должны быть ука.заны пр01 ибы всех узлов в два начальных моме]гта времени. Задание граничных условий в этом случае довольчо сложно, н на нем следует остановиться подробнее.

3.17. Граничные условия

Если при расчете вибрации монолитного блока можно было задавать иа поверхности только перемещения илг силы (нспрпжеиия), то прн расчетахколебаний пластп можно задавать четыре вида величин: прогибы, углы повороте: сечений, нзгнбаюш,ие н .крутящие моменты и перерезывающие силы. Нужно обязательно задавать два вида величии. При этом возможны следующие комбинации: 1) прогиб и угол поворота сечентгя, 2) нрогиб к изгибающий момент, 3) угол поворота сечения и aiepe-резывающая сила, 4) изгибающий момент и перерезывающая сила.

Рассмотрим тс случаи задания граничных условий-которые встречаются при расчетах изгибны>: колебании плат в конструкциях РЭА.

Защемленный край (рис, 3,48). Плата вставлен: в металлический паз без зазора. Если при этом паз неподвижен, то очевидно, что перемещения узлов {y-\-h). и у-н/г) и (д:-h, y-\-h) и угол поворота сечения ((:{(/-Ь1,5/г) должны оставаться равными нулю.

Записывать уравнения движения (3,39) для узлос на линии (у+/г) не нужно, поскольку прогибы там равны пулю. При составлении уравнений движения узлов иа линии у нужно лриравпять нулю угол ф(у+],Ы() = ={--{y + 2h)-w{yh)]lhy.

Тогде: б уравнении (3.39) член ц скобках с множителем С будет иметь вид

-С[(-3i((/-t-/t) -гбщ-f 4ci(y-/г) -f ш(г/-2Л)].

Рис. 3.49.

Рис. 3,48.

Таким образом, в узлах вблизи границы решается не все уравнение (3.39)", а только часть его, причем в эту часть не иходит перемещение законтурного узла [уЛ--2К), а перемещения граничных узлов {уЛ-h) будут приравниваться нулю автоматически, если в ячей:и памяти, где хранятся перемещения w{y-h), записывать нули.

Можег случиться, что движение защемленного края задано, например, ему передаются колебания в вертикальном направлении. Здесь возмол<ны два случая. Если край платы остается параллельным горизонтальной плоскости [I угол ф([/--1,5) сохраняется равным кулю, то его нужно нз расчетных соотношений исключить и задавать то.чько перемещения, Если и угол ср изменяется со временем по заданному закону, то в уравнение (3.39) вместо разности {w{y2h)~-ii{y-h)Ylhy нужно подставить заданное значение угла.

Шарнирио-опертый край (рис. 3.49). В сечении {y-\-h) прогибы и изгибающие моменты М{у\) равны нулю, Прн вычисленпй перемещений узлов, находящихся на линии у, нужно величину момента из уравнения (3.39) исключить. Тогда уравнение будет иметь вид

w{t--z)=z А [да {X\-2h) - Aw (л- А) + бги - - 4да {х -h)w (л- - 2Л)] - В (2 - V) [ги (л- -~ /г, у + /г)-2х-11/ + /1) + ш(х-/1, y-[-h)]-- 2В [~2w (л: -[- /г) 4- 4tei - 2sy (х - /г) + ш (х -f h, y-h) 2ш{у -h)-\-wix - h, у - h)] - ~ С [-2ы iy-{h)-[- bw - s{y - ft) + ш (у - 2h)] -h + 2да--т). (3.40)

Рис. 3.50,

Рис. 3.51.

Может с-тучиться так, что через шарнир задается движение на плату в виде перемещений узлов на линии {y-\~h). В этом случае соответствующие значения прогибов записываются в ячейки для прогибов граничных узлов, в уравнении (3.40) ничего менять не надо.

Свободный край (рнс. 3,50). По сечению на свободном краю пластины не приложены ни нормальные, не касательные напряжения. Поэтому в сеченнн должна отсутствовать перерезывающая сила Qy{ + 0,5) н крутящие моменты Hy{x-i0,b, г/4-0,5), Ну{х~0,5, 1/4-0,5). Кроме того, на свободном краю нет растяжения слоен в направлении у, так как края пе искривляются, поэтому в уравнениях моментов Му{х-{~1), My, Му{х~\) и М1 будут отсутствовать члены

-[-w{x -h, y~~h)]!h

v[w{x-{~h, y~]-h)-2w{X\-h}w{x-}-h, y - h)y,h\, v[w{y-{- k] ~-2ww{y- h}];k%.

Изгибающий момент My действует на два соседних эленеита перерезывающих сил, поэтохму входящий в неге член нужно вычитать из уравнения (3.39) два раза. В результате после исключения указанных членов ир уравнения (3.39) получаем уравнения движения узлов находящихся па линии у;

w{t-x) = ~A[wix2!i)-- 4w(x-]-h}-\-bm-

~ 4w {х - А) + ш {х ~2h)]-B[~{2-v)w {х + А) { (4 -2v)w~ (2 - V) W (х - А) -f {2 - V) w {х -L h, у~ h)-{4--2v}w{y ~h)-\i2~~v)w{x-h, у Л)] ~ - С [W 2w{y ~ h}\-w {у - 2h)]-2w - wit - x).

В полученное уравнение не в.чодят отсутствующие узлы на линии {y-\~h) и {y-\~2h). Чтобы не ошибиться при выводе уравкеннй граничных узлов, нужно следить sa коэффициентами при прогибах. Алгебраическая сумма всех коэффициентов в каждой квадратной скобке должна быть равна нулю.

В случае евобо/тиого края узлы на линии {и-Л) акже становятся граничными, так как по отношению к ним мет узла (у-ь2Л). В уравнениях для этих узлов нужно исключить в выражении момента M(f/4-l) член

[w{y + 2h]~2w{yk) -\-w]/h\,

учитывающий растяжение счоев в направлении у.

Закрепление в точке. В радиоконструкциях часто применяют крепление с помощью винтов нли болтов. Б зависимости от момента затяжки вннта, зазоров н конфн-гурапин шайб в одних случаях такое крепление можно считать шарнирным, а в других - жестким. Если крепление рассматривается как шарнирное, т. е. не препятствующее повороту платы, то л..пи расчета прогибов окружающих узлов используются расчетные соотношения {3.39) безизмененнй, только в ячейку прогиба, где располагается пинт, записывается прогиб, равный нулю. Если крепление считается жестл[[м, то .нужно исклю-ить из расчетных соотношений углы поворота сечений вблизи точки крепления. Углы поворота прн составлении уравнений (3.39) вычисля.чись в промежутках между узлами, поэтому нужно будет приравнять нулю четыре соседних угла (рис. 3,51).

3.18. Учет инерции вращения

Недостатком уравиеиий (3.37) и (3.38) является то, что в них не учитывается инерция вращения элементов эти уравнения не являются волновыми. Отличие волновых уравнений от невол1Ювых состоит в том, что вол-:овые описывают колебательные процессы, а которых корость распространения волн не зависит от их длины : частоты. В них порядок разностей или производных о координатам и времени одииакоц. Наши уравнения меют второй порядок по времени н четвертый порядок о координатам. В результате скорость расироетрапеиня 10ЛН в решении получается тем большей, чем короче юлны. Если длина волны становится соизмеримой с тол-

шиной пластины, то скорость действительного процесса начинает все более отставать от скорости решений. Например, частоты резонансов в расчетах получаются завышенными, и трудно оценить погрешность такого завышения.

Чтобы устранить этот недостаток, сделаем вывод уравнений движения пластин с учетом инерции вращения элементов. Запишем три уравнения движения: одис уравнение проекций сил иа вертикальную ось и два уравнения проекций моментов на горизонтальные оси. В качестве иеизвестных возьмем нрошб w и углы поворота сечений qj и у относительно горизонтальных осей,

При выводе таких уравнений нельзя рукоиодство-ваться пшотсзой прямых нормалей, поскольку, как мы видели, такая гипотеза оставляет место только одной неизвестной. Введем в эту гипотезу некоторые изменения. Будем считать, что иормали к средннпон плоскости, проведенные до дефор.мацин, остаются после деформации прямыми, но ие обязательно нормальными к срединной поверхности. Это позволяет нормалям поворачиваться в двух перпендикулярных плоскостях и допускает появление двух неизвестных углов 1Юворота. Такое предположеине называют гипотезой прямых сечений и используют в технической теории изгиба пластин (теория Тимошенко),

Разобьем, как и прежде, пластину на прямоугольны э.:ементы и будем составлять уравнения движения для каждого элемента. По четырем боковым граням эленсн-

fipauitv.uf!

Рис. 3.52. 154

Вычислен:

"х

Рис. 3,53.

та будут действовать [ормальные и касательные напряжения (рнс. 3.52).

Нормальные напряжения <3хх и сгуу создают изгибающие моменты My и Мх, касательные напряжения вух и Ожу - крутящие моменты Их и Иу, а касательные напря-кення 01- и - перер-езывающие силы Q. Начнем вы-1числение с перерезывающих сил (рис. 3.53).

Величина касательных напряжений оиредел>1ется суммой гтлов;

(3.41)

.;; = p.[Y(A--H-0,5)-L-(.v + 0.5)l.

срединной поверхности двух сосед них узлах:

Угол наклона касательной к выражается через прогибы в

1 (JC-Ь0,5) = [jiJ (л;+Л) - да] /ft.

Углы поворота сечений теперь определяются так же, как и прогибы в узлах модели. Поэтому угол y(.i:-f0,5) выразим как среднеарифметическое между углами в соседних узлах: ,(х-г0,5) = [у + у(х + /1)]/2.

Подстазив значения углов в вьтражснпе (3.41) и умножив на площадь сечения грани, получим значение перерезывающей силы

2 Л- h) - w

5Л + 0.5) = 1/1,/г

- f Y + T(A--b)]. (3.42)

По аналогии можно записать значения перерезывающих по трем остальным граням эле-

W- w{% - h)

ил, деистзуюших мента:

Y (х - h) f