Рис 3.42.

, w()f-hhw(x-h,p-h!

.w(i;--h}~w(§-ih)

w~ w(Xh)

4v

wft/i-hf-iv

l-V{X-/?}-H

w(x-h/~yi{x-}},y-

l{ti>,?/V-«;"V

A{x>-/i,yfi}-;r{i/)

wiX+h.gt-tij-WxXfi}

Рис. 3.44.

Некоторые элементы соепадают друг с другом, и останется 16 незаБНСИмых элементов. Поскольку сечения нормальны к срединной поверхности, то углы поворота выражаются в виде первых разностей от перемещений по соотвггствующил координатам, например;

Для онределсиня уху-у. мкаоходимых палт углов поворота потребуется 13 \ ь.eлн-сетки (рис. 3--13), Такое сочстаине узлов для pnciera пластин называют 13-TQiieqHbiM шаблоном, jmijiimjii набор иеобходимглх углов показан на рис, 3 \ \.

Подставив anaieunsi углов в 1и.1ражепия (3.34а), получают 3[[ачения ппггб.иоми. момемгов (рис. ,3.45) Изгибающие .MOMMrijj т,1]);икмк>тся чере третьи разности от прогибов 1и> 4uo]vinii;iT,iM.

Если подс1~а1и1Ть значения углов в уравнение (3.34), то получается ы.[раже[те для крутяидих моментов (рнс. 3.46). В эти (ыр<-1ЖС1Н1м также входят вторые раз-10-421 145

1Eh4i

- 3(1 +v)

( j

1 1 \

2Efihx

3(1 + m) ~w(>i-h) -{-K!(<-{-h. и -

(- +.4"*

% r 1

3(1+ v) > h)~x£{x - h)

Пх - 4-, ;/ Ч- ~y)

(1 + v)

+ ( + -

Рис. 3.46,

НОСТП от прогибов по координатам, уги ралности называются смешанными,

Подставив значения нзгнпиюидих и крут5ицих моментов в уравнение (3,36) н выполешв алгебраические преобразования, [голучпм формулу для перерезывающие сил. Они выражаются через третьи разности от прогибов по координатам (рис. 3.47).

Заметим, что в пыраження моментов входят шаги сетки hy. и hy. При устремлении uiaroB к нулю моменты также обращаются в иул1,, н это ип15ятио, тик как они пропорциональны млощлдн бокозых граней элементов. Чтобы этого не происходило, при ])eineiiH][ дифференциальных уравне[1ий вычисляют не сам момент, а его величину, деленную Hii шаг сет:<н, т. с, приходяН1уюсл на

Qx{x--j=DhftyX -wl{x + ft) + 3tc- 3a? {X- - h) + w{x - -ih)

- a> (j/ + A) + 2w - w jy ~h)

w{x~h, у-]-h)~2w{x - h)-\~w{xh, y - h)

-sp(jf + ft) +3»-3ttf X

ш{»:+А, yh)-2w{y-h)-\-

I -ft, t/ -A)

A%ftj,

Qy/yxjMtfX

-b 2Л) -t- 3ip(i/-)-ft)-

w - Зцг 4- шХу - ft) Л --j-

~а?(Х + й, (/+lft)+2tflX j X(g+ft)-№(X-ft, f+ft) ft%ft

-2еь-[-аь(ч: -ft)

- EP (X + 2ft)+ 3m"(.x: + ft) - ata + ш fx - ft) -I» (X + ft, у + ) 4-21 (x+ft)~ai (Х+Л, y-A)

ft,ft,

ю(у + Л) - 2ia+ w{y~h)

Рис, 3.47. 148

единицу длины грани. Эту величину называют интенсивностью момента.

То же самое происходит н со значением перерезывающей силы. Она пропорциональна площади hjiy, поэтому вычисляют величину силы, приходящейся на единицу площади, т. с. давленне. Подставив теперь значения перерезывающих сил в уравнение равновесия (3.32) н разделив его на площадь hji, получим уравнение изгибных колебаний пластины

п Г"" + Щ - 4ш {х. + ft) - 6ttr + 4ш (X - ft) + ш (х - Щ [ 1г\ "Т-

1 9 а? {x-\-h, у 4- ft) - 2а? {у + ft) + ttr (х-ft, у + ft)

л" V

m (х + ft) - 2№ 4- а? (X ~ ft)

2 а? (х -f ft, - ft) - 2ц (у - ft) 4- ш (X - ft, у - ft)

ft\ftV

a? {у 4- 2ft) - 4щ (г/ 4- ft) -f б№ ~ 4щ (г/ - ft) 4- Ш (у - 2ft)

(3.37)

где p - поверхностная плотность материала, т. е. масса пластины, приходящаяся на единицу поверхностн: D~ =2Eh/3{l-v) - цилиндрическая жесткость пластины.

Запишем для сравнения дифференциальный аналог разностного выражения (3.37):

[;д + . (3.38)

Представив в разностном выражении ускорение а, в виде второй разности от прогибов по .времени и решив уравнение отиоснтельно прогиба на верхнем временном слое, novTy4HM явное уравпе1гие

w{t-{-t) ~A[w(a: + 2/i)- 4й(л:-t-Л) + 6ш - - 4ш - Л) 4- ш (л- - 2А)] - 2В [w (а- -f- а, у Н- Л) -- 2w {y-\-h) Ч- W (л- -h, у +[А) - 2w{X + А) + -\4w - 2w{x - h)W(х-\-k, у ~h) ~-2т{у - h)-\--\-w{x-h, z/-ft)l-C[aj(y + 2/i)-4аи(£ + Л) + -j-6ш - 4ш;(у ~h)-\-w{y- 2Л)] -2w-w{t- -с). (3.39)

где Atph, BDi;li>h\h\, C==Dxlph\.

Уравнение (3.39) позволяет производить расчет по явной Схеме. Для получения явной схемы уравнение