ij-h)- V[x-h, y--h)-\- v{x~h, у - h)]

- w{x~h, h)w{x- h, г-+

W (y + h) ~ 2H-«iy - Щ + + -Jtr [Ы -L Л) - 2a - «- A)I =

(3.12)

Если в уравнении (3.12) произвести указанную циклическую замену обозначений координат и перемещений, то получим два оставигихся уравнения движения. Этн уравнения содержат только три неизвестные функции и. пиши назътваютчя уравнениями движения в перемещениях. Устремив в -равнениях движения шаги по координатам и времени к пулю, получим уравнения движения в перемещениях в дифференциальной форме

(3.13)

Уравиення в частных производных (3.13) являются основными уравнениями теории уцругости и называются уравнениями Ламе. Л1ож!10 было бы чисто формально перейти от урасиеннй Ламе (3.13) к урвнеиням в конечных разностях (3.12), заменив частные производные разностными аналогами. Такой путь был бы короче, но, во-первых, мы договорились, что не .будем прибегать к уравнениям в дифференциальной форме как исходным, а во-вторых, При нашем подходе мы проследили все тонкости получения этих уравнений и нам ясна физическая картина деформирования элементов модели. Нам, например, очень просто будет задавать в расчете любые внешние воздейстния иа модель-сетку, о чем будет сказано ниже, а пока представим уравнения (3,12) в форме, удобной для решен]!Я на ЦБМ-Ш2

3.6. Явная схема

Уравнепия движения (3,12) замечательны тем. что в каждом из них имеется только один член, определяющий одни компонент перемещения на верхнем временном слое: иИ-\-х), v(tT-r) и w{tr) (рис 3.18). Благодаря . этому вычисления можно вести в следующем порядкс-I Прежде веего, должно быть задано начальное со-I стояние тела, т. е. начальные перемещения и скорости i всех узлов моде.,ти-сетки. Это равносильно з.чданню не--J pc•зeн[.el!ий н два иачальи1)(е момента времени {f-t) и Тогда для каждого узла модели сетки МЫ можем вычислить лев]ле чзстп в уравнениях (3.12). Там находятся только известные величины. Затем, используя перемещения иа нижнем временном слое, можно вычислить для всех узлов перемещения на верхнем временном слое, применяя правую часть уравнении (3.!2). Тепфь

будут определены перемещения веех \злпп иа верхнем временном слое.

Мож[10 продвинуться на одни пгаг по времени, т. е, сменить один кадр (см. рис. 3,18). Теперь нам вновь будут известны перемещения всех узлов модели на двух предыдущих слоях по времени и можно рассчитать перемещения на следующем временном слое. Так, двигаясь по временным слоям, находят перемещения всех узлов на интересующем отрезке времени. При этом на каждом временном слое надо решать не систему уравнений, а каждое уравиеиис в отдельности относительно одной неизвестной.

Чтобы легче было считать, заранее решим уравнения (3.12) относительно неизвестных перемещений в верхнем временном слое. Попутно с этим преобразованием выполним еще два. Во-первых, выделим ллены, относящиеся iK отдельным напряжениям, как сделано в уравнении (3.6), а во-вторых, перейдем к другим обозначениям, применяемым при программировании задач на алгоритмическом языке ФОРТРАН. Этот язык является весьма удобным при программировании наших задач, поэтому для иллюстрации приведем формулы на этоь-) языке.

Пока запомним шростыс правила: на ФОРТРАНЕ каждую величину можно обозначать одной или несколькими буквами или инфрами, причем можно использовать только больпгие (;прописиые) буквы латинского алфавита, скобки употребляют только круглые. Знак умножения, который мы чаето пропускаем или заменяем точкой, на ФОРТРАНЕ обозначается звездочкой. Звездочка служит и для другой цели Если формула че уместилась в одну строку, то можно сделать перенпч; иа любом тча-тематическом знаке, но в начале следующей строки этот знак не повторяется, а станнтся звездоЧКа. Для .этой звездочки отводится в начале строки специальное место. Символы X, 1/ и 5г в обозначениях на языке ФОРТРАН будут выполнять тл же роль, что и в предыдущих формулах, т. е, определять расположение узла, для которого вычисляются перемещения. По этим значениям машина будет находить номер узла и соответственно выбирать из Памяти числа, относящиеся к этому узлу. Поэтому X, у в Z примут только целые значения, которые изменятся прн переходе к следующему узлу на единицу. Вместо того чтобы прибап.чять .к соответствующей

координате шаг, будем прибавлять к номеру л, у или Z единицу, т. е. вместо (x-i-fi) писать (Х-1-1).

\Поскольку в каждом временном слое мы оперируем iC величинами, относящимися к трем временным слоям, . нетнеобходимости хранить в цамяги ЦВМ все данные, которые получаются в результате расчета. Это лотребо-вало бы очень большого объема памяти. Молено хранить в памяти данные только трех слоев и после вычислений в очередном временном слое записывать новые значения иа место прежних, а нужные нам данные выводить на печать. Поэтому не будем в новых обозначениях писать (i + т) или и-г). Величины, относящиеся к разным временным слоям, обозначим цифрами 1, 2 и 3, напри-tMep, вместо «(i-г), и и u{t-\-i) запишем Ui, U2 и U3 соответственно.

В новых обозначениях формулы (3.6) будут выглядеть так;

-QXY2 -hQXZl QYZ2+QVXi-

QYX2-f (3.14) QZX2-1-QZYI -

U3 = QXX1 -QXX2-I-QXY1-

- QXZ2 + 2,i<;U2-U!. V3 = QYYI - QYY2 + QYZI -

-f2:4=V2 -VI. i W3 = QZZI - QZZ2 -\- QZXl -QZY2 + 2:%W2-W1.

Сравнивая уравнения (3.14) с (3.6). можно заметить, [что каждая величина, начинающаяся буквой Q, соответ-!ствует определенному аапряжению. Это и есть напряжение, только умноженное на постоянный множитель, например:

QXX1 =oV/p или QXY2 /i?-

Эти напряжения теперь будут иметь размерность перемещений и измеряться не в иаскалях (согласно СИ), а в метрах.

Новые напряжения вычисляют по формулам

;QXX1 = AX:4(U2 (Х+ 1) - U2) + BXY(V2 (Х+1. Y + 1)--V2(Y+1)-V2(X+!, Y-i)--V2(Y- l))+BXZ(W2(X-hI, Z+l)+ Ur2(Z+l)-W2(X-hI. Z-1) ~\V2{Z~\)l QXX2 - AX(U2 - U2 (X - 1)) BXY;(V2 (Y + 1 + V2(X-1. Y-r I)-V2(Y- I)--(V2(X- 1,

Y - 1)) 4- Ш (W2 (Z + 1) -f W2 (X - 1, Zi) -.- .

~\V2(Z-- I)-W2(X-I, Z- 1)), QXYl CY % (U2 (Y + I) - U2) -f- DXY >1< (V2 (X [-

+ 1. Y + i)+V2(X+l)-V2(X-I, Y+l)-

-V2(X- !)), QXY2 = GY(U2 - U2 (Y - 1)) -\- DXY><(Y (X + J) +

+V2(X+I, Y- I)-V2(X- 1)~V2(X- 1, Y-I)l. QXZl --CZ><(U2 (Z 4- I) -U2) -\- DXZ><(W2 (X + I),

Z+1) + W2(X+1)-W2(X -1, 2-1)-

-W2(X- 1)),

QXZ2=:CZ>=(U2-U2(Z"l)) + DXZ%iW2(X-hI)+ +W2(X4-1, Z-1)-W2(X-I)-\V2(X-1, Z-i)) и т. д. (3.15)

Остальные двенадцать новых выражений для напри-жеинй можно, как н прежде, получить циклической перестановкой XYZ-X и UVW-L. Все коэффициенты, входящие в уравнения для напряжений (3.15), являются беразмерными и определяются характеристиками )Маториалов (X, р, и ip) и выбранными шагами сетки hx, hy, hz и t. Коэффициенты

BXY==.?.T2/4pMy, СХ=.1грЛ,

DXY=ixtIAphhy и г. д. (3.16)

Значеиня остальных коэффициентов можно получить из (3.16) циклнчеокон перестановкой, причем переста-HOBiKa обозначений координат не изменяет величины коэффициента, например, BXY=BYX.

3.7. Через границу

Деформация упругих тел Можст происходить тюд действием внутренних сил, например упругих воздействий, возникающих при расширении вследствие неравномерного нагрева, электрических и магнитных сил, если тела являются сетиетоэлектрика.ми и.чи магнитострикторами. При расчетах вибраций радноконструкшш эти силы во внимание не прини.маются. Упругие тела могут деформироваться также под действ}:ем внешних сил. Этн силы мы и будем учитывать при расчетах. Внешние силы всегда 1В03иикают при взаимодействии упругого тела с другими твердыми, жидкими или газообразными телами. Чтобы определить эти силы, нужно рассматривать

to картину взаимодействий, например, учитывать взаи-мбдействие радиоконструкнии с корпусом корабля, иа отором ола установлена, а также корабля с морскими Волнами н ветроМ, а ветра с водой. Столь сложные задачи мы решать не умеем. Поэтому искусственио разделим эту сложную картину иа более простые, в которых илы взаимодействия принимаем известными.

Реальные условия, в которых придется работать конструкции, всегда известны приблизительно. Поэтому оиределенне внешних сил производится экспериментально в примерно аналогичных условиях, а затем вводятся поправочные коэффициенты, учитывающие, что в реальных условиях силы могут быть большими. Часто кар-ину упроигагот еще больите, допуская, что объекты, которые воздействуют иа конструкцию, являются абсо-ютно жесткими и не деформируются. Точки, в которых онструкция взаимодействует с другими телами, совер-лают такое же движение, как и зги абсолютно жесткие ела. В этом случае задаются не силы, действующие на [Тиругое тело, а перемещения точек контакта.

Таким образо.м, внешние воздействия могл-т зада-аться в виде перемещений граничных точек расомат-иваемого упругого тега или в виде сосредоточенных ли распределенных сил, действуюгцих извие на поверх-юсть тела. В первом сл-чае говорят, что заданы гра-ичные х.словия первого рода, а во втором - граничные словия второго рода. Если на всей поверхности -или на асти ее внешние силы отс\тствуюг, то это рассматри-ается как задание нулевых граничных условий второго ода. Следовательно, граничные условия должны быть аданы по всей внешней поверхности тела. В нашей иокретной модели тела нужно задать внешние силы ли перемещения по всем граням элементов, которые ыходят на поверхность тела.

Рассмотрим вначале задание граничных условий вто-ого рода. При выводе уравнений равновесия (3.6) мы роектировали все силы, приложенные по граням эле-еита, на координатные оси. При этом рассматривался лемеит внутри тела, и этими силами были произведения апряжений на площади граней. Есчи одна или большее исло граней элемента выходит на поверхность тела, то ужно соответствующие напряжения заменить внешними апряжениями. Если на псгоерхности задана распреде-енная нагрузка (давление), то соответствующие напря-