II /

Pmc, 3.10.

участка будут неодинаковыми и в какой именно точке деформации будут в точности равны вычисленному значению t.j-.v, заранее сказать нельзя.

Заранее можно утверждать, что прн деформировании упругого тела деформации будут непрерывно изменяться от точки к точке, т, е. деформации ъх будут некоторой плавной фуик1[иен координат, не имеющей изломов и ступенек, ]i между узлами найдется по крайней мере одна точка, где деформация будет равна вычисленной. В одних -случаях эта точка будет смещена от центра участка влево, □ других - впрато, Ошибка будетиаимень-тпей, если считать, что вычисленное ио формуле (3,8) значение дсформ.чппи равно дсф.>рмацш1 в центре участка ,

Если блок разбит на элементы с узлами в центре каждого из них (рис. 3,10), то легко заметить, что точки, в которых вычисляются деформации растяжения е"*", е" , £, формулам/ аналогичным (3.8), совпа-

дают с центрами граней, где приложены напряжения.

В формулы пор,.\1алы1ЫХ напряжений (3.5) входят три вида деформаций растпжснпл в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Уравнения ((3,8) подходят только для одного вида дефарьацин - растяжения в иаправлеиии действия напряжения. Для двух других дефО;р-мацнй растижения нужны другие формулы.

Например, в формуле для напряженпй деформации

ез;к можно вычислять ио форму.чс (3.8), так как эти деформации определены для центра грани (л: + я/2). Если 102

Услобиый узел

f-f-4У-

Уплодиыи узед

(x+h, i/i-h)

[K+h. 7-h)

Рис. 3.11.

же в формулу (3,5) вместо р.,-,, подставить :начеиг1е {v{yA-h)~v] jhy или [tr-u(i/-/г)] у, то вычисленпс будет неточно, так как эти деформации рассчитаны для центров других граней.

Как же вычислить деформации растяжения в лл-правлении г/ и j: в центре грани (x+hx!2)? Для этот нужно использовать перемещения других узлов (рис, З.П).

В направлении у па уровне центра передней грпни (x + fta;/2) нет узлов, поэтому намет им два условных узла [x-vhli, ул-Н) н {xhl2, y-h). Перемещения в сторону у в этих узлах находим как средние арифметическиемежду перемещеииймп двух соседних узлов:

v{xhn. yh) = [v[x-\-h, y--h)v{y-h)\!%

Теперь с помощью этих узлов можно вычислить удлинение в иап.ра1Блении у .для центра передней грани;

e+ = y(jc + A. y-\-h)-v{yk)-v{x-\-h, y - h)-

-v{tf-h)VAk,. (3.9)

Нам потребуются выражения для деформаций растяжения в трех направлениях для центров всех шести граней элемента. Чтобы различать эти деформаиии, уже недостаточно отмечать их индексом --1.-» ИЛи «-указывающим иа смещение отиоснтсльно центра .элемента вперед или назад. Нужно еще указать, в каком направ-

Рис. 3.12.

4 -l-4•-K+./-.Y,/-./;

7& .-i "/"iA, z/-f Г .-/,.-Л;1-р}7:

J-

Леаии nepetcH это смещение ((ipnc. 2>.V1). Выражения для остальны.\ деформаций растяжения М0Ж1!0 записать по аналогии с выражениями (3.8) и (3.9) (рис. 3.13).

Ранее указывалось, что деформации сдвига определяются суммой тангенсов углов поворота сечений, расположенных до деформации под прямым углом (рис. 3.14).

Теперь нам шредстоит выразить дефор.мации сдвига через перемещения узлов модели-сетки. При этом нужно учитывать положение центра грани, для которой вычисляются деформации. Кроме того, нужно получить выражения, похожие на общоирннятые в теории упругости, в противном случае мы не сможем проверить правильность наших выводов.

Вычислим деформации сдвига, по которым определяются касательные напряжения а в центре передней грани элемента (рис. 3.15).

Первую часть деформаций сдвига (tgO]) находят как разность перемещений узлов х и {x-{h) в направле-инн у, OTHecejMivra к расстоянню -между этими узлами: [tr(x + /i)-у] г!

Вторая часть деформаций (tga2) вычисляется несколько сложнее. По линии, проходящей через центр передней грани в направлстш г/, нет узлов. Поэтому введем условные узлы {x-\hj2, y~\-h) н i(x4-/2, y-h) (рис. 3.16). Перемещения этих узлов вычислим как средние арнфметичеакие между перемещениями соседних узлов:

«(x + ft/2, yJh)[ti{xJk, У + Л)+«(у + й)]/2; u{x-\-hi2, y - k)=\u.{xh, y-h]-\-u{y~h)\n.

Рнс, 3,H.

Рис. 3.15.

рис, 3,16.

Определив разность между этими иеличин-амн и взяв ее отношение к расстоянию между условными узлами 2Лу, получим вто1пю часть деформаций сдвига

{u{x\h, y-j-h) +u{<j-{h) -u{x-\-h, y-h)-u{yh)]iAhy.

Сложив обе части, находим нужное нам выражение ДЛИ деформаций сдвига

V = (-v-vЛ) -ifi.-ЬI"(а-h, y-\-h)~i-u{y-\-k)-

- и 1(л- + f/ - fi) -и {у- fi)]:4hy, (3.10)

Аналогично получают выражения дли остальиьЕх деформаций сдвига (рнс. 3,17). Если подставим полученные

Pnc, 3.17. 106

выражения деформаций с уравнения (ЗА) и (3.5), то [[айдем напряжения через персмешения узлов модели-сетки:

- у (х -f А, y~h)-v(y- k)\ -1- ~- [ш (х+А. г -f ft)+ wC-\-h) - w{x-\-h, z - h) - w(z ~h)\,

+ y-h)-v{y~ h)-v{x~h, y~A)I +

+[да(г + А)4-да(д--, + А)~ш(г-/0--w{x-K ? -Л)Ь (3.11)

с;;; = [V {X + A) - t-l -I - [И r.v + A, у ft) + + «(у + й) -ц(л: + /г, y - h)~u{y~h)\,

V=- (- - + ih, [«+ft)+и (- - ft. i+ft)

- «(i/ - A) - Ц (.jc - A, y - A)],

<r +- 1+-4.t [«(-V -: - ft. У - - A) -r

+ «(?-f-A)-tt(:--f-ft. г--А)A)],

[ti- - ш f.r: - A)I 4- [и (2 +

4-Л)-Ьи(а--А, e-f-A)-w(? -A) - - Ц (a* - A, 5; - A)] и т. д.

Оставшиеся двснадиать выражений для напряжсннГ! можно получить из ypaLuieiHiH (3.11), если в них произвести циклическую перестановку x-y-z--x. Только теперь одновременно с этой порсстанов1кой нужно прои.-воднгь .перестднозку u-v-wu.

Подставим полученные значения напряжений (3.11) Б уравиения равновесия (З.б) и приведем подобтле члены:

[u{.v + A)-2u-Lu(.t -А)! +

1(17