Таким образом, получим систему уравнений, устанавливающих связь между элементарными объемами. Далее, используя гипотезу о линейности свойств среды, исключают из уравнений величины одной категории» обычно те, которые характеризуют взаимодействие, т. е. выражают напряжения через перемещения, а потоки - через температуру. Для каждого элементарного объема получается одно или несколько уравнений для нахождения оставшихся неизвестных величин: перемещений или температуры. Если состояние вещества в каждом элементарном объеме определяется скалярной величиной, например температурой, то уравнение будет одно. Если же состояние характеризуется векторной величиной, например леремещением, то уравнений будет столько, сколько компонентов имеет вектор. В трехмерных задачах таких компонентов будет три.

Если форма всех элементарных объемов выбрана одной и той же iH одинаков характер взаимодействия соседних объемов, то все соотношения будут также одинаковыми. Поэтому нет надобности записывать уравнения для всех элементов, что при малых объемах элементов и невозможно. Достаточно записать уравнения для одного типового элементарного объема. При бесконечно малых размерах элементов эти ураянения будут уравнениями в частных производных, при конечных размерах элементов - уравнениями в конечных разностях. Всегда можно перейти от уравнений в частных производных к уравнениям в конечных разностях и наоборот.

Однако при предельном переходе к бесконечно малым размерам элементов из разностного уравнения всегда получается вполне определенное дифференциальное уравнение. Этот переход всегда однозначен. Но для одного и того же дифференциального уравнения можно записать бесконечное мложество различных разностных уравнений. Причем эти уравнения будут далеко не равноценны с точки зрения сложности решения и точности получаемых результатов.

Трудно предложить общие правила выбора разностного уравнения, но можно указать точно, какие разностные уравнения использовать для решения нельзя. В дальнейшем мы попытаемся это сделать, а пока заметим, что, не имея достаточного опыта, весьма полезно получить разностное уравнение из физических представлений о взаимодействии элементарных объемов конеч-

ных размеров, а затем, перейдя к бесконечно малым, получить его дифференциальный аналог. Далее нужно сравнить полученное дифференциальное уравнение с известным уравнением в частных производных. Разумеется, они должны быть одинаковыми. При таком подходе не только удается избежать грубых ошибок в расчете, но н проще осмыслить его результаты. Кроме того, физический подход иногда позволяет учесть в расчете такие эффекты, которые в бесконечно малых объемах пропадают как величины второго порядка малости. Уравнения полнее отражают физическую картину взаимодействия элементов, а значит, являются более точными. Особенно заметны такие эффекты при построении разностных уравнений в криволинейных системах координат. Наконец, фиЗИческий подход к построению разностных уравнений часто позволяет упростить задание внешних воздействий (граничных условий) в задаче.

Возникает вопрос: а нельзя ли при разностном решении задачи вообще отказаться от дифференциальных уравнений в частных производных?

Лучше этого не делать.

Дело в том, что уравнения в частных производных дают точное решение задачи. Хотя такие решения, как правило, неизвестны, но на основе сравнения разностных уравнений с дифференциальными можно судить о качестве полученных разностных уравнений. Кроме того, часто удается подобрать точное решение другой задачи, в которой используются те же дифференциальные н разностные уравнения, но другие начальные и граничные условия. В этом случае возможно сравнение точного и приближенного решения и оценка погрешностей разностного решения. В дальнейшем мы воспользуемся этим приемом.

Поясним .построение разностных уравнений на основе физических представлений на весьма наглядном примере.

1,4. Пример с водой

В качестве движущейся среды выберем воду (рис. 1.5). Воду считаем несжимвемой, внутри элементарного объема не будет происходить ее выделение, поглощение или накопление. Тогда можно воспользоваться вторым из записанных выше уравнений: сумма потоков

ных осей. Множество узлов, образующих -сетку, обозначается так [7].*

Рис. 1.5.

вещества равна нулю. Для дальнейшего упрощения возьмем двухмерную и стационарную задачи, т. е. потоки вещества в вертикальном направлении примем равными нулю и будем считать потоки в двух других направлениях неизменными во времени. Допустим, что каждый элементарный объем имеет вид резервуара, наполненного водой доверху. Центры резервуаров совпадают с точками плоскости хОу, где пересекаются оси трубок. Эти оси назовем сеткой, а точки пересечения осен -узлами сетки. Узлы образуют множество точек, равноотстоящих друг от друга в направлении координат-

{x - mh, y - nh\m = 0, 1, .... М, п

О, 1. ...,Л}.

(1.1)

где ш - обозначение множества узлов, образующих сетку, включающего и граничные узлы; { } - знак множества; x~mhy 1/=п/г -обозначение узлов. Далее за разделительной чертой приводится свойство узлов, образующих множество. В нашем примере оно состоит в том, что координаты узлов пропорциональны шагу h и коэффициенты пропорциональности т п п могут быть только целыми числами. Максимальное значение коэффициентов (М и Л) определяет размеры прямоугольника (Mh Nh), ограниченного осями крайних резервуаров. Резервуары соединены трубками одинакового диаметра, располол<енными в горизонтальной плоскости в направ--лении осей л: и у. В вертикальном направлении потоков и трубочек нет. У каждого резервуара имеется манометр для измерения давления. Крайние резервуары - особые, с их помощью задаются граничные условия в нашей задаче. Так как задача стационарная, давление в крайних резервуарах должно поддерживаться постоянным. Для литого придется доливать или выливать из них воду.

Итак, вода залита и в граничных резервуарах давление ее постоянно. Попробуем записать закон сохранении материи для любого из внутренних резервуаров. Дли /юго нам нужно прежде всего высказать некоторое иред1К)ложеппе о зависимости потока в трубке от разиосш давлений на ее концах. Можно, например, допустить, что поток через каждую трубку пропорциона-.чен ее поперечному сечению 5, разности давлений на ее концах и обратно пропорционален длине трубки /. Это предположение, естественно, и отражает результаты на-пи1\ наблюдений (рис. 1.6).

Строго ли это предположение отражает картину движения воды в трубке? Нет, конечно. Это лишь допущение о линейной связи между потоками и разностью давлений, т. е. гипотеза о линейности свойств среды. Для иовьш1ения точности предположения надо было также учесть влияние на величину потока относительной величины самого потока. Но тогда среда будет нелинейной, а уравнения движения станут более сложными.

Рис. 1.6.

Хорошим аналогом движения воды по трубам является протекание электрического тока по проводам (рис. 1.6). Сила тока также пропорциональна поперечному сечению провода, разности потенциалов и обратно пропорциональна длине провода.

Теперь рассмотрим внутренний резервуар, находящийся в точке поля с координатами х и у. Точнее, в этой точке находится центр резервуара, а х и у могут принимать значения, кратные расстоянию между центрами соседних резервуаров, т. е. шагу сетки h. Обозначим давление в этом резервуаре через Рт, п- Предположим, что потоки, направленные по нижней и левой трубке, втекают в резервуар, а потоки по правой и верхней

Рис. 1.7.

(на рис. 1.7)--вытекают из него. Разумеется, нам заранее не известно действительное направление потоков в трубках, а также и действительное значение давления. Поэтому чтобы не ошибиться в знаках при выводе уравнений, считаем, что потоки в направлении координатных осей положительны. Если в некоторых трубках потоки будут направлены в противоположную сторону, то при расчете они получатся со знаком минус.

Давление в резервуарах, соседних с резервуаром (л:, у), обозначим, как на рис. 1.7.

Поток через трубку 1 резервуара будет равен

т,п + 1

через трубку 3

Поток через трубку 2

р р

т,п-1 * т,п h

через трубку 4

Рт-1,п Рт,п

В этих формулах буквой А обозначен коэффициент, характеризующий свойства жидкости (воды). Очевидно,

2-421 17