ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В этой главе мы коснемся некоторых предварительных" сведений, чтобы подготовить читателя к порядку рассужде1!ий, используемому в книге.

Любому конструктору, а конструктору радиоэлек-трзнной ашнаратуры (РЭА) oeo6i4iHo, в практической лея ? льпоетп постоянно приходится сталкиваться со многими физическими явлениями: механическими, теи-ловмми, аэродинамическим и, электродииамичесччими, Т"[аг >имер. и а радиоаппаратуру, установлен и ую в еа-мг)Лс -ГС ИЛ1З ])акете, передаются вибраиии от корпуса. One испытывает те же перегрузки, что ir космонавт. В Г;оцеесе работы в радиоэлементах выделяется тепло. нагг--:ва1отся сами элемеггты и иесуине их коисгруки.ни. Длк охлаждения приходится принимать сиеииальиые мерл. Вибрании конст1)укции, тепловые и воздуншые потоке, электромагнитные вотны образуют очень сложи\ч<* KaivHHy.

Почем) л]Ы считаем ли явления сложными-* Г! И чего е.южнсио нет в том, что. скажем, чел сн<е к от к ГИЛ л форточку и проветрил иомещсчте или разжег косе, р и стало 1еилее. Да, с точки зрения иап.их житеи-еки:: лонятнй -ничего сложного в этих явлениях нет. .Но ОСЛУ, постараться изобразить на бумаге картину распределения потока воздуха в комнате с открытой форточкой !пи картину тепловых потоков от костра, то при.ичея поЛЛ1ат1> голову и постав[1Т[> несложные опыты, ианрн-мер с отклонением пламени горящей свечи (рис 1 Г). А при попгигке рассчггтать эти потоки, пожалуй, ничею» не Быйдет, хотя комната имеет относительно простую форму прямоугольного параллелепипеда. Пространство у ко:тра еще проще для расчета. Его можно представить в виде полубесконечного пространства, ограниченного € одной стороны землей.

Сложность таких задач состоит прежде всего в том, что они многомерны. Процессы в них протекают в направлении трех координат и времени.

Рис. 1.1.

1.1. В элементарном объеме

Если рассматривать явления, ироисходяпще в какой-либо среде, в малом или, как говорят, элементарном обтеме, то они оказываются достаточно простыми для понимания и количественного описаиии. Другими словами, записать общую зависимость между величинами, характеризующими поведение среды в элементарном обь--ме, несложно. Например, в механических нолях упругих деформаций каждый элементарный объем в ynpvrou среде должен находиться в динамическом равиовееи[г, т. е. сумма всех сил, действующих на этот объем, ллтж-на быть равна нулю. Равенство нулю всех впеи1н;;х л внутренних сил вытекает из закона сохранения имю, ir-

Рис. 1..2,

Рис. 1.3.

са и может быть записано в виде уравнения равновесия (рис. 1.2).

Для понимания процессов в жидшх и газообразных средах и их количественного описания к закону сохранения импульса следует добавить еще закон сохранения материи или уравнение неразрывности. Для элементарного объема этот закон говорит о том, что накопление вещества определяется разницей между его приходом и расходом (рис. 1.3).

При изучении процессов, связанных с энергообменом, например тепловых процессов, используют закон сохранения энергии. Для элементарного объема он говорит о том. что сумма притекающей, утекающей и поглощае-мой (выделяемой) энергии равна нулю.

Итак, три непогрешимых фундаментальных закона природы: 1. Закон сохранения импульса. 2. Закон сохранения материи. 3. Закон сохранения энергии.

II три уравнения для элементарного объема: 1. Сумма сил равна нулю. 2. Сумма потоков вещества равна нулю. 3. Сумма потоков энергии равна нулю.

Последние два уравнения справедливы лишь в случае, когда вещество или энергия не поглощается или не выделяется внутри элементарного объема и не происходит их накопления. Если же происходит поглощение, выделение или накопление, это можно учесть в урав-

нениях введением некоторых дополнительных потоков, и уравнения остаются в силе.

Будем строить дальнейшие рассуждения на основании трех указанных законов природы и соответствующих им уравнений равновесия. Помимо законов сохранения, нам будут нужтл енте некоторые гипотезы о поведении среды, для которой строятся уравнения равновесия. Эти гипотезы связывают меясду собой различные характеристики движения.

1.2, Гипотеза о свойствах среды

Механические, электрические и тепловые процессы связаны со взаимодействием частиц или тел в различных средах и характеризуются многими физическими величинами. К ним относятся: положение, скорость и ускорение частиц, температура, потенциал и напряженность электрического поля, объемная плотность вещества или объемная плотность заряда, напрял<енность магнитного поля, магнитная индукция. Все эти величины взаимосвязаны, однако степень их влияния друг на друга различна. Это позволяет упростить задачу и рассматривать не всю картину, а только отдельные части. Например, при рассмотрении механических процессов не учитывать электрических и магнитных взаимодействий и, наоборот.

По, чтобы описать количественно картину каждого из этих процессов, нам потребуется гипотеза о свойствах среды. Начнем с описания механических процессов и упругой среде, т. е. в твердом теле.

Ocnonnoii хара [\ lepiic гпкой движения п такой среде является перемещение частицы или некоторого малого объема относительно произвольной начальной точки отсчета. Для упругих тел в качестве точки отсчета удобно выбрать такую, в которой находилась частица, когда тело было в недеформированном состоянии. Таким образом, перемещения определяются относительно положения равновесия.

На основании этой характеристики можно получить ряд производных характеристик. Для каждой частицы в отдельности производная от перемещения по времени определяет ее скорость, вторая производная - ускорение, третья-скорость нарастания ускорения и т. д. Несколько сложнее обстоит дело при взаимодействии ча-стиц. Здесь удобно рассматривать застывипге во иремеш!

картины движения как кинокадры. При этом появляются две категории производных величин, зависящих от вза-зшного расположения частиц в такой застывшей картине.

К первой категории относятся величины, характеризующее геометрию взаимного расположения. Их называют деформациями. Можно получить ряд производных от деформаций по времени, например скорость деформаций, ускорение деформаций и т. д.

Ко второй категории относятся величины, определяющие силу взаимодействия между частицами или малыми объемами. Эти величины называют напряжениями и определяют количественно как среднюю силу, приходящуюся на единичную площадь поверхности раздела между двумя объемами тела.

Деформации и напряжения определяются взаимным расположением частиц, поэтому между ними должна быть связь. Это означает, что для каждого конкретного упругого тела величина напряжений однозначно определяет величину деформаций и наоборот. При этом величина нал ряжений может зависеть также от скорости деформаций, их ускорения и т. д. Эта функциональная связь довольно сложна и является нелинейной. Но для большинства практических приложений связь между деформацией и напряжением считают линейной. Для Случая продольного растяжения или сжатия упругих тел

Зако Гука (продольное растя.н<ение стеотня)

Закон Станса (одномерное течение)

4) /? ~ коэффициент вязкости

e=&L/L-omHocu-тельное удлинение; F~ сила; S г- площадь селения сглери<ня

Скорость деформации

Закон Фурье

j=C g- плотность теплового потока; & - температура; С - коэффициент теплопроводности

В виде стержня коэффициент пропорциональности называют модулем упругости, или модулем Юнга, и обозначают буквой Е (рис. 1.4).

Более сложный случай деформирования рассмотрен в гл. 3.

В жидкостях и газах величина напряжения оказывается пропорциональной скорости деформации. Такие среды называют вязкими, а коэффициент пропорциональности называют коэффициентом вязкости.

Таким образом, гипотеза о линейности среды предполагает прямую пропорциональную зависимость напряжения от деформации или от скорости деформаций. Эти гипотезы связывают между собой силы и перемещения. Такую связь между напряжением и деформацией называют законом. Для упругих тел она определяется законом Гуха, для вязких - законом Стокса.

Гипотеза о линейности свойств среды применяется также при тепловых расчетах. В случае распространения тепла в твердом теле предполагается прямая пропорциональная зависимость между потоками тепла и градиентом температуры (первой производной от темиера-1ур1л по координате в рассматриваемом направлении). Коэффициентом пропорциональности здесь служит ко-э()()ициент теплопроводности.

1-3- От части к целому

11сиользуя законы сохранения и гипотезы о линей-иосги свойств среды, можно перейти от описания процесса в элементарном объеме к описанию его во всей рассматриваемой области, например, в твердом теле. )1ля зтого нужно иредста1игп> в виде математических соотиошеиий взаимодействие каждого элементарного обьема с его «ближайшими соседями».

Вначале иа основании одного из законов сохранения записывают зависимость между величинами, которые характеризуют состояние каждого элементарного объема и взаимодействие соседних элементарных объемов. Например, в упругой среде состояние характеризуется ие)емеш,ением объема в направлении координатных осей, а взаимодействие -напряжениями, действующими на границах раздела между элементами. При расчетах тепловых процессов характеристикой состояния является* температура, а взаимодействия - тепловые потоки.