в уравнении (16.37) вместо х подставим правую часть (16.38) и (о - ц/, - ц2/2 вместо (Oq:

do dx, d% „ „ do dx,

+ li- +1 - i[i -(0 + ii ++ l<"d7 + +

od2 о о о (16.39)

+ 2- + ...) + (0)2 - J./, - ц/Ххо + JiX, + 1х\ + ...) = 0.

Образуем из (16.39) три уравнения, соответствующие д. в нулевой, первой и второй степенях:

-1-0)2x0 = 0; (16.40)

d2x, „ „ dx

i+0)2x1 =(l-)-f + Xo/,; (16.41)

2 - -1 d/

d2x9 „ „ dx, dXfi

+ ia\ = (1 - x2) - 2xoX, + /,X, + /2X0. ( 16.42)

Проинтегрируем (16.40): Xq = Aq coso)/.

Подставив Xo в (16.41) и учтя, что sinacos2a = 0,25sina 0,25sin3a, получим d2x,

+ o)2x,=- о)Ло(1-0,25)sino)/--o/,coso)/--0,25o)gsin3o)/. (16.43)

Уравнение (16.43) можно трактовать следующим образом: на колебательный 1С-контур без потерь [левая часть уравнения (16.43)] воздействуют вынуждающая сила с угловой частотой ш, равной собственной частоте колебательного контура, и сила с угловой частотой, в три раза большей.

Известно, что если подключить колебательный LC-контур, имеющий активное сопротивление R-*- О, к источнику синусоидальной ЭДС fsinw/ при оговоренных

условиях, то амплитуда тока в цепи будет нарастать до бесконечности. Действительно,

= пр + св = -у sino)/ - ~ e-«sin(o)/ + v). При R-0v-0nb = R/{2L) 0.

Разложим е~* в ряд и, учитывая малость б, возьмем два первых члена ряда. В

результате получим i « - tsinat.

Такие члены в решении дифференциальных уравнений, амплитуды которых нарастают теоретически до бесконечности при увеличении времени t, называют вековыми. При дальнейшем решении уравнения (16.43) необходимо помнить о том, ,что амплитуды вековых членов должны оказаться равными нулю при любом t > 0.

Р е ш е н и е (16.43) запишем следующим образом:

л:, = y4,sino)/ -- B,coso)/ + (C,sino)/ + D,coso)0 +

+ £iSin3o)/ + f",cos3o)/. (16.44)

Первое и второе слагаемые представляют собой полное решение однородного уравнения; четвертое и пятое - частное решение неоднородного уравнения. Третье

слагаемое представляет собой вековой член. Его можно было бы не вводить в дальнейшие выкладки по определению коэффициентов А, В, F, Cj, Dj, однако введем его, чтобы показать, что его присутствие выкладкам не помешает. Дважды продифференцируем (16.44) по времени:

л;, == - А(д\\п(д( - fljtocoso)/ + C,a)cosa)/ - Djwsinw/ + + a)(C,cosa)/ - Djsinw/) - /ti)(C,sina)/ -\~ Djcosw/) - QwfjSinSo)/ -

- 9g)V,cos3g)/- (16.45)

Подставим (16.44) и (16.45) в (16.43), выделим из левой и правой частей (16.43) слагаемые соответственно с sinw/[формула (16.46)], cosw/[формула (16.47)], sin3(i)/ [формула (16.48)1, cos3a)/[формула (16.49)]:

0,=0,5Ло(1 -0,25Л2); (16.46)

2a)Ci = 4o/i; . (16.47)

- 8Л, = 0,25о,Л; (16.48)

8a)V, = 0. (16.49)

Слагаемые (16.43) с вековыми членами дают нуль:

/(CiSinw/ + D,cosG)0(w - w) = 0. (16.50)

Используем также заданные начальные условия для определения Л,, flj, Cj, D,, F,, fj. Так как начальные условия уже были удовлетворены при определении Xq, то для всех последующих приближений начальные условия нулевые. Имея это в виду, из (16.44) находим х;,(0) = fl, + F, = 0.

В соответствии с (16.49) F, = О, поэтому в, = 0. Из уравнения (16.44), используя

условие Ху{0) = О, получим

0)Л, +D, +Зо)£", =0. HoD, и F, известны из (16.44) и (16.48), поэтому

Поправку на угловую частоту /j, а вместе с тем и значение Aq найдем исходя из

того, что амплитуда векового члена должна быть равна нулю при любом / >• 0. Отсюда С, =OhD, =0.

Из (16.47) следует, что /, = О, а из (16.46) - что Aq = 2: 3

Ограничившись первым приближением и перейдя от х к /г,, получим

X = Xq -\- iLX = Лрсово)/ + i(5;7~ y4Qsinto/ - -г- sin3a)0-

Первое приближение привело к изменению амплитуды первой гармоники с Г 0,751

= 2 до 2 Y 1 + (---) и к появлению третьей гармоники.

Угловая частота первой гармоники в первом приближении не изменилась и равна угловой частоте Wqнулевого приближения. Аналогичным образом производится и второе приближение. Однако каждое последующее приближение по сравнению с предыдущим более трудоемко.

в основу данного метода положены работы французского математика Пуанкаре по небесной механике. Метод называют методом малого параметра потому, что в нем производят разложение решения в ряд по степеням малого параметра. Насколько этот параметр должен быть мал в каждом примере, заранее сказать нельзя. Важно, чтобы ряды для X и для (0 или О) сходились. Если ряды будут сходиться медленно или вообще не будут сходиться, то пользоваться этим методом не имеет смысла.

§ 16.8. Метод интегральных уравнений. От нелинейного дифференциального уравнения можно перейти к интегральному, используя одну из форм записи интеграла Дюамеля. Поясним идею этого перехода. Решение линейного дифференциального уравнения, например уравнения

+ «1-+«о> = Д0. (а)

может быть записано в виде

; • А(0=/(0я(0)+5Лх)ё(/-т)(1т. (б)

Под g{t) понимают переходную проводимость, либо переходную функцию в зависимости от того, чем является х по отношению к вынуждающей силе /(/); g{f) определим как решение (а) при /(О = 1 •

Если исходное уравнение нелинейно, например

dx . 2 <-/ V

-+«1- + «о>+&> =/(0.

то нелинейный член hi можно перенести в правую часть и рассматривать как внутреннюю вынуждающую силу:

dx dx г/ V . 2

-Л-а,~ахт-Ьх. (в)

Используя (б), запищем решение уравнения (в):

X = [/{/) - bx\tm)) + \[/(т) - bx\x)]d{t - T)dT. (г)

Переходная функция g{t) определяется по линейной части исходного нелинейного дифференциального уравнения при воздействии на нее 1(0- Уравнение (г) является интегральным уравнением по типу Вольтерра второго рода. Его можно решать методом последовательных приближений, полагая xt) = д:(0) и пользуясь таким соотношением для /г-го приближения:

т =[т-bxiut)\g{Q) +\\f{T) -bxi,{T)\t-T)dT.