в соответствии с (15.9) и (15.10) получим

sh(4sinio0 = 2.9,76simo/ - 2-3,34sin3w/ + 2.0,505sin5w/ -

ch(4sin(o0= 11,3 - 2.6,42cos2o) -- 2-l,416cos4o)i -f ... .

§ 15.16. Разложение гиперболического синуса от постоянной и синусоидально меняющейся составляющих в ряд Фурье. Из § 15.13 известно, что мгновенное значение функции у связано с мгновенным значением х формулой (15.1). В этой формуле аргументом гиперболического синуса является нех, как было в § 15.14, а произведение х. В соответствии с этим для разложения sh(pjtsino)/) и ch(pxsin(i)/) в (15.9) и

(15.10) следует заменить х на х.

Если X = Xq-j-xsinat, где Xq-постоянная составляющая, х - амплитуда синусоидальной составляющей, то у = ash{XQ -j- psinio/) = =ashpxoChOA;sinw/) -- achposhOmO-

Следовательно,

у = ashpxo[/o(/pxJ] -f 2/2 UPxJ cos2w/ + 2/ (jxj cos4o)/ -f ... -f

-f 2achpxo{[- i (/pxjl sinto - 3(/PxJ sin3o)< -...}. (15.11) Из (15.11) следует, что постоянная составляющая функции у

i/o = ashpVo(/Pm)- (15.12)

Первая гармоника функции у

у = 2achpxo[- ,(/Pa:J] sinw/; ( 15.13)

вторая гармоника третья гармоника и т. д.

У2 == 2ashpxo/2 (/PxJ cos2(o/; (15.14)

f/з = 2achpxo[- /7з(/ЭхЛ sinSto (15.15)

Пример 149. Разложить в ряд Фурье функцию у/а = sh(2 -f 4sin(i)0-Решение. По табл. 8.1 находим sh2 = 3,бЗ; ch2 = 3,7. Значения функций Бесселя берем из табл. 15.1. В соответствии с (15.11)

у/а = sh(2 -f 4sinw0 = 3,63(11,3 - 12,844cos2o)< -f 2,832cos4o)< - ...) -f -f 3,76(19,52sinio - 6,674sin3o)/ + l,01sin5w/ - ...). Таким образом, у/а = 41,1; yim/o. = 73,4; у2т/о. = 46,7.

§ 15.17. Некоторые общие свойства симметричных нелинейных элементов.

1. Если нелинейный элемент с симметричной характеристикой работает в условиях, когда одна из определяющих его состояние величин, например величина х, изменяется во времени по закону Jt = Jto + Xmsinio то в отношении другой определяющей его состояние величины (величины у) можно сделать следующие выводы:

1) постоянная составляющая функции у зависит не только от Xq, но и от х, что следует из (15.12);

2) в кривой у = f{(iit) появляются четные гармоники, которые исчезают при Xq = 0. Фаза четных гармоник зависит от знака постоянной составляющей (от знака

Xq)\

3) путем изменения Xq или можно изменять амплитуды первой и высших гармоник функций.

Первое из эгих свойств поясним графически. Пусть нелинейный элемент работает при отсутствии синусоидальной составляющей {х = 0). Тогда изображением

Рис. 15.13

этого процесса на характеристике нелинейного элемента будет точка а (рис. 15.13, а). Для нее /iKix

У = о; Э- = К = shV«- (15.1b)

Этот результат следует из (15.12), если учесть, 4To/q(0) = 1. Если же нелинейный элемент работает при Ф О, то, для того чтобы постоянную составляющую функции сохранить прежней, постоянная составляющая xq

должна быть снижена (или снизится сама) со значения Xq до Xq. Постоянная составляющая

где xq определяется ординатой точки Ь, расположенной ниже точки а (рис. 15.13, б).

Первое и третье из этих свойств широко используют в теории управляемых нелинейных элементов, второе свойство - в теории умножителей частоты.

Пример 150. Нелинейный элемент с характеристикой у = ashA: сначала работал при г/о/а = 41,1 и отсутствии переменной составляющей (Эх = 0). Затем режим работы его изменился: постоянная составляющая /а осталась прежней, но появилась переменная составляющая д:, амплитуда которой х = 4. Найти постоянные составляющие х в этих двух режимах.

Решение. В первом режиме = Аг sh 41,1 = 4,41. Во втором режиме рдго = Аг sh( 41,1 о(/4)) = Аг sh3,63 = 2.

Таким образом, при переходе от первого режима ко второму постоянная составляющая pQ изменилась с 4,41 до 2, т. е. более чем в два раза.

II. В энергетическом отношении общие свойства нелинейной цепи, содержащей одну нелинейную катушку (конденсатор) с безгистерезисной симметричной характеристикой, в которой действуют генераторы синусоидальных колебаний с частотами /] и возникают токи и напряжения частот = m/j -\- nf2im и п - простые

числа, принимающие положительные, отрицательные и нулевые значения), для периодических процессов описьфаются теоремой Мэнли и Роу.

Если через W„ - U„I -f „I„ обозначить среднюю за период мощность, поступающую в нелинейную индуктивную катушку (конденсатор) на частоте 1т,п~ + п/2"°"еорема устанавливает связь между мощностями, поступающими в нелинейный элемент на различных частотах. Эту теорему записывают в виде двух соотношений (доказательство см., например, в [20]):

m = о л = - оо

т, п

I I

m = - 00 л = О

т, п

mfx -f «/2

= 0.

(15.18)

§ 15.18. Появление постоянной составляющей тока (напряжения, потока, заряда) на нелинейном элементе с симметричной характеристикой. Если к нелинейном \ резистору с симметричной ВАХ, например / = аи, подвести напряжение в виде двух компонент и - Usmoit -f t/2sin(2(i)f -f ф), частоты которых относятся как 1:2 [в более общем случае как 2k/{2p -{- 1), где k и р - целые положительные числа], то в токе, проходящем через HP, несмотря на отсутствие выпрямителей, появится постоянная составляющая, равная - 0,75aUU2s\n{p. Ее значение зависит не только от Uy и U2, но и от угла ф. Сам факт возникновения постоянной составляющей в этих

условиях называют селективным выпрямлением. Селективно оно потому, что возникает не при любом соотношении частот двух напряжений, а при вполне определенном. Сходное явление имеет место в нелинейных индуктивных катушках и конденсаторах. Так, если на нелинейную индуктивную катушку с ВАХ / = азНФ воздействовать потоками частот to и 2(0, то при отсутствии постоянной составляющей в МДС в потоке кроме указанных гармоник появится и постоянная составляющая. Для ее определения положим ф = ф -f Ф51п((о/ + ф) + Ф2т2а)1, подставим в

формулу для тока и, разложив ток в ряд Фурье, приравняем постоянную составляющую тока нулю. В результате получим формулу для определения Ф:

2[- i(/fe2)][-/2(/fe,)]

Io{jbi)Jo{jb2)

где bo = рФо; b[ = ЭФ1; b2 = ЭФ2.

Если через нелинейный конденсатор проходят первая и вторая гармоники тока, а угол ф О, то на нем будет постоянная составляющая заряда при отсутствии постоянной составляющей напряжения.

§ 15.19. Типы характеристик нелинейных элементов. При анализе и расчете электрических цепей с нелинейными элементами в зависимости от рассматриваемого вопроса используют различные типы характеристик одного и того же нелинейного элемента: а) характеристики для мгновенных значений; б) ВАХ по первым гармоникам тока и напряжения; в) ВАХ для действующих значений.

§ 15.20. Характеристики для мгновенных значений. Основным типом характеристик являются характеристики, связывающие мгновенные значения основных определяющих величин: тока и напряжения на нелинейном резисторе, индукции и напряженности в сердечнике нелинейной индуктивной катушки, заряда и напряжения на нелинейном конденсаторе. Будем называть их характеристиками для мгновенных значений. Иногда перед этим названием добавляют соответственно следующие слова: вольт-амперные, вебер-амперные или кулон-вольтные. В силу ряда причин, обусловленных различными физическими процессами в самих нелинейных элементах, форма характеристик меняется с увеличением скорости изменения определяющих величин во времени.

§ 15.21. ВАХ по первым гармоникам. Под ВАХ по первым гармоникам понимают графическую или аналитическую связь между амплитудой (действующим значением) первой гармоники тока и амплитудой (действующим значением) первой гармоники напряжения на нелинейном элементе.