Первую гармонику тока найдем, используя схему рис. 7.4, в:

4 = 6/(3+3/) =1,41е-/»\

Вторую гармонику тока вычислим в соответствии со схемой рис. 7.4, г:

/й = 5е«- = 2.23е-".

Мгновенное значение тока гз равно сумме мгновенных значений:

/з = = l + l,41sin((o/-45°)+2,23sin(2o)/+2640) А.

Напряжение

= -М~ = l,41cos(o>/-45°)-4,46cos(2o)/+26°40) В.

§ 7.7. Резонансные явления при несинусоидальных токах. Как

известно из гл. 3, резонансным режимом работы электрической цепи, содержащей один или несколько индуктивных и один или несколько емкостных элементов, называют такой режим, при котором ток на входе совпадает по фазе с действующей на входе ЭДС.

Если действующая ЭДС несинусоидальна, то в электрической цепи могут возникать резонансные режимы (резонансы токов или напряжений) не только на первой, но и на высших гармониках.

Условимся под резонансом на /г-гармонике понимать такой режим работы, при котором ток -гармоники на входе цепи по фазе совпадает с -гармоникой, действующей на входе ЭДС (но при этом токи остальных гармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их ЭДС).

Если учитывать активные сопротивления индуктивных катушек, то условие возникновения резонанса для какой-либо гармоники заключается в том, что реактивная составляющая входного сопротивления для этой гармоники должна быть равна нулю.

Исследование резонансных явлений при несинусоидальных токах часто производят, полагая активные сопротивления индуктивных катушек равными нулю. В этом случае входное сопротивление при резонансе токов равно бесконечности, а входное сопротивление при резонансе напряжений равно нулю.

При возникновении резонансного и близкого к нему режима на какой-либо высшей гармонике токи и (или) напряжения этой гармоники могут оказаться большими, чем токи и напряжения первой гармоники на этих участках цепи, несмотря на то что амплитуда соответствующей высшей гармоники ЭДС на входе схемы может быть в несколько раз меньше амплитуды первой гармоники ЭДС.

Пример 66. В схеме рис. 7.5 катушка обладает индуктивностью L2. Полагая активное сопротивление индуктивной катушки равным нулю, найти, при каких значениях емкостей С\ и С2 входное сопротивление схемы для первой гармоники равняется нулю, а для девятой - бесконечности.

9)9.

Решение:

= 0,

9(0 Cr

Рис. 7.5

I 81

Совместное решение дает 1 / (0C2 = ЪХыЬ, -- = -L-

(оС 80

§ 7.8. Действующие значения несинусоидального тока и несинусоидального напряжения. По определению (см. § 3.2), квадрат действующего значения тока / выражают через мгновенное значение тока / следующим образом:

\i4t

Если ток

/ = /о + /isin((o/ И- i?i) + /2sin(2(o/ -f г?2)

Поэтому

Jsin(/7(o/ + p)sin((o/ + ф)с1/ = 0.

/=/? + /L/2 + /L/2--/L/2

(7.10)

/ = VI+7f:772T7L72TrT. (7.10а)

Так как амплитуда /г-гармоники тока /. в д/2раз больше действующего значения тока -гармоники 7,, то

/2 / /

km km km 2

I=л[11ПТТ1П1+::г. (7.11)

Следовательно, действующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей тока и действующих значений отдельных гармоник. От углов сдвига фаз я]) действующее значение тока не зависит. >

Аналогично, действующее значение несинусоидального напряжения и равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений отдельных гармоник:

=v7Rf+l7 . (7.11а)

Пример 67. На входе двухпапюсника w= 100 +80 sin((o/+30>)+60sin(3o)/+20°)+ + 50 sin(5o)/+ 45°) В; i = 33,3+17,87Xsin((o/-18°)+5.59sin(5o>/+120°) A. Найти их действующие значения.

Решение:

и = Vl002~+802 / 2 + 602 / 2 + 502 / 2 = 127,1 В. /=д/33,2+17,877+5,5972 =35,6 А.

§ 7.9. Среднее по модулю значение несинусоидальной функции.

Под средним по модулю значением функции понимают среднее значение модуля этой функции за период:

, (7.12)

в отличие от действующего значения оно зависит от значений -ф.

Пример 68. Дана функция, не содержащая постоянной составляющей и четных гармоник и не изменяющая знака в течение каждого полупериода. Определить ее среднее по модулю значение.

Решение. Разложим заданную функцию в ряд Фурье:

/ = /isin(o>/ + t5i) + /з51п(3(о/ + Фз) + /5sin(5(o/ + tlg) + ... После интегрирования получим

2 1 1 (7.13)

§ 7.10. Величины, которые измеряют амперметры и вольтметры при несинусоидальных токах. Несинусоидальные токи и напряжения измеряют приборами различных систем. Принципы действия