уравнениям (в) и (г) соответствует схема рис. 3.42, в. Сопоставляя схемы рис. 3.33 и рис. 3.42, в, замечаем, что L, заменена на (L, 1з - на (L3 -\-М), а во вторую ветвь введена отрицатель-

ная индуктивность = - М (физически осуществить полученную расчетным путем отрицательную индуктивность в цепи только с линейными элементами невозможно). Таким образом, участок цепи, изображенный на рис. 3.42, г, в расчетном смысле может быть заменен участком, показанным на рис. 3.42, д. Если катушки будут включены встречно, то на рис. 3.42, д следует изменить знак перед М. Покажем, как можно осуществлять развязывание, не составляя полных уравнений по второму закону Кирхгофа. В основу положим неизменность потокосцепления каждого контура до и после развязывания. Пусть в схеме рис. 3.33 после развязывания х - индуктивность первой ветви, у - второй, z - третьей. Условие неизменности потокосцепления левого контура: i,L,-\-iM = = /,L] + (/, - i2)M = цх 4- /g , откуда x = Li~\-MMy = ~M.

Условие неизменности потокосцепления правого контура iM 4- /3L3 = (/2 + 3) + зз = ~ ЧУ откуда у = - М и Z = М + L3. Знак минус поставлен потому, что при обходе контура по часовой стрелке перемещаемся встречно току .

§ 3.42. Теорема о балансе активных и реактивных мощностей (теорема Лонже-вена). В любой линейной электрической цепи сумма активных мощностей источников ЭДС равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощностей источников ЭДС - сумме реактивных мощностей приемников энергии.

Пусть схема содержит / узлов, b ветвей и все ветви или часть их связаны друг с другом магнитно. По первому закону Кирхгофа сумма токов в любом узле равна

нулю. Например, для й-узла, в котором сходится п-ветвей, Jfkp ~ YJp Умножим каждое слагаемое этой суммы на потенциал fe-узла ф

= 0.

Просуммируем аналогичные выражения для всех /-узлов схемы:

fe=l p=l

В двойную сумму любой ток схемы, например ток /, входит дваждыи притом с разными знаками. Действительно, njpn k = т и р = q слагаемое равно Ц)щ1щ, а при k = q и р = т равно ф/„ - Так как / = - /, то эти слагаемые можно объединить и получить ffnq{4>m ~ Чд)- Положим, ЧТО какая-то ветвь схемы, например ветвь kq, магнитно связана с ветвью sr так, что сопротивление взаимоиндукции между ними Лд (рис. 3.43).

В соответствии с рис. 3.43

для ветви qk •

для ветви sr

Рис. 3.43

Если принять = Iekq; =/ei4>sr ; и учесть I Ie-ikq

J = A„.e Ps, TO сумма двух слагаемых

kqfsriMkq,, + kqfsriMkq, - kqsrlMkqf,

Таким образом, попарное рассмотрение слагаемых двойной суммы позволяет виде

V% = VlAp + /21*.»л,„,„сов(<р,, - J, (3.60)

переписать ее в виде

где l\p - квадрат модуля тока ветви kp\ Zkp= Rkp -Ь jXkp.

Левая и правая части формулы (3.60) представляют собой комплексы. Равенство действительных частей комплексов

равенство мнимых частей

VAp = 1ЧЧр + 2Х.ЛДл,„,„еов(ф„ - ф„). (3.62)

В этом выражении Xj принято положительным при согласном направлении

потоков взаимоиндукции и самоиндукции ветвей kqwsr и отрицательным при встречном их направлении. Формулы (3.61) и (3.62) являются математической записью сформулированной теоремы.

Пример 48. По данным примера 46 убедиться в справедливости теоремы о балансе мощности применительно к схеме рис. 3.40, а.

Решение. Активная мощность, доставляемая источником ЭДС,

Re£/ = Re 100- IZ.ZeJ" = 1770 cos 63° = 800 Вт.

Активная мощность, потребляемая приемниками, /н/?н = 14,12-4 = 800 Вт. Следовательно, равенство активныхмощностей действительно выполнено. Реактивная мощность источника ЭДС 1т£/ = 1770 sin 63° = 1582 ВАр. Реактивная мощность приемников энергии с учетом согласного включения катушек

/о>£, -4- /gwLg + 2/,/2wAfcos (ф - фз) = = 17,72-2+ 14,6-3+ 2-17,7-14,6 cos (63°- 144°)= 1582 ВАр. Таким образом, баланс реактивных мощностей тоже удовлетворяется.

Зак. 683 129

§ 3.43. Теорема Теллегена. Пусть в некоторой схеме имеется п ветвей и узловая матрица ее[Л]. Матрицу-столбец комплексно-сопряженных токов ветвей обозначим [/в ], а матрицу-столбец комплексных напряжений на ветвях (включая ЭДС ветвей и падение напряжения на них) обозначим [йв 1-

В соответствии с законом сохранения энергии

Щ1, + Щ12 + ... + и*1, = 0. (а)

Соотношение (а) можно записать так

1еГ1*е] = 0. (б)

Но в соответствии с § 2.35 [t/g] = [j4f {ф], где [ф] - матрица-столбец потенциа-

лов незаземленных узлов. В свою очередь,

Подставим (в) в (б):

1/вГ = [фГИ1- (в)

[фГИ1[*в1 = о. (г)

в формуле (г) произведение H][/g] = 0 физически выражает собой систему

уравнений по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов схемы, составленную для комплексно-сопряженных токов ветвей.

Из (г) следует, что если в одной и той же схеме с неизменной [Л]-матрицей создать два режим а, отличающихся сопротивлениями, и ЭДС ветвей и все величины, относящиеся к первому режиму, снабдить одним штрихом, а ко второму - двумя, то

Соотношение (д), получившее название теоремы Теллегена, справедливо и по отношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы у них были одинаковые узловые [Л]-матрицы.

§3.44. Определение дуальной цепи. Две электрические цепи называют дуальными, если закон изменения контурных токов в одной из них подобен закону изменения узловых потенциалов в другой. В качестве простейшего примера на рис. 3.44 изображены две дуальные цепи.

Схема рис. 3.44, а состоит из источника ЭДС Е и последовательно с ним включенных активного, индуктивного и емкостного элементов L, С). Схема рис. 3.44, б состоит из источника тока Д и трех параллельных ветвей. Первая ветвь содержит активную проводимость gg, вторая - емкость третья - индуктивность L.

Для того чтобы показать, какого рода соответствие имеет место в дуальных цепях, составим для схемы рис. 3.44, а уравнение по методу контурных токов:

1 (3.63)