Рис. 3.17

Рис. 3.18

При построении топографической диаграммы, как и потенциальной (см. § 2.10), потенциал любой точки схемы может быть принят равным нулю. На диаграмме эту точку помеидают в начало координат. Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме определяется параметрами цепи, ЭДС и токами ветвей. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 37. По данным примера 35 построить топографическую диаграмму для схемы рис. 3.16, а.

Решение. Обозначим буквами а, Ь, с, ... точки схемы рис. 3.16, а, которые хотим отобразить на топографической диаграмме. Примем потенциал точки а равным нулю: == 0.

Выразим потенциал точки b через потенциал точки а:

Фб = Фа + Л1=Фа+ 10.

Знак плюс перед слагаемым обусловлен тем, что при переходе отточки а к точке b перемещение происходит навстречу току /j (при этом потенциал увеличивается на /,/?,). Точка b на диаграмме имеет координату по оси абсцисс + Ю- Аналогично,

Фс = Фб + hii = 10 + /10; Фd = Фс + /33; Фе = Ф + Ыз-

Совокупность точек а, Ь, с, d, е на комплексной плоскости (рис. 3.18) представляет собой топографическую диаграмму схемы рис. 3.16, а. По ней удобно определять напряжение между любыми двумя точками схемы и сдвиг по фазе этого напряжения относительно любого другого напряжения.

Пример 38. Найти токи в схеме (рис. 3.19) методом узловых потенциалов. Положительные направления ЭДС указаны на схеме стрелками, е, = \20f2sini)i В;

вз = 100V2cos(u)/ - 120°) B;R = 2 Ом; l/wCa = Ю Ом; (0L3 = 5 Ом.

Решение. Запишем ЭДС в комплексной форме: £j = 120, £3 = lOOe"" 1°.

Выберем положительные направления для токов в ветвях к узлу а. Определим проводимости ветвей: У, = 1/Z, = 1/2 = 0,5 См; Kg = 1/2 - 1/(- 10/) = 0,1/См; 3 = I/Z3 = 1/(5/) = - 0,2/ См.

Заземлим точку Ь. Уравнение по методу узловых потенциалов

120-0.5-f 100e-0,2e-Q° .-go

=-0.5+ 0.1/-0.2/-

Рис. 3.19

Токи в ветвях

1 -Фс

120- 104е"

/8"

= 8,5 + /7,25=11,17е/*о°25д.

, z;=.:Li!£;=.lo,4e-/-A;

3- Фа

100е-/°-104е-/«° 5/

100(cos30° - /stn30°) - 104(cos8° - /sinS")

- 16.2 - 35,5/ 39,le/-°» ,55030, ~ 5/ ~ 5e/90° •

Пример 39. Найти токи в схеме рис. 3.20, а методом контурных токов и построить

топографическую диаграмму, если £] = 100 В; £2 = ЮОе В; Хс = 1 /юС = 2 Ом; У? = С)£ = 5 0м. . .

Решение. Выберем направления контурных токов /11 и /22 по часовой стрелке. Запишем в общем виде уравнения для контурных токов [ср. с уравнениями (2.46)]

. . иИ + 2212 = 11

1121 + 22-22 - 22»

где Z\\ - собственное сопротивление первого контура; Zn = R - -- = 5 - 2/

(i)L

Z22 - собственное сопротивление второго контура, Z22 = /? + /wL = 5 + 5/ Z12 = Z21 - собственное сопротивление второго контура, взятое со знаком минус Zi2 = - R = - 5; £11 - алгебраическая сумма ЭДС первого контура £11 = £1 = 100; £22-алгебраическая сумма ЭДС второго контура £22= - £2 = - 100/.

Следовательно,

/,,(5-.2/)-5/22 =100; -5/„+/22(5 + /5) = -100/.

Определитель системы

(5 - 2/) - 5 -5(5 + 5/)

100 - 5

Л2 =

(5 - 2/)

- 5 - 100/

= 10 -f 15/ = lee-O. = 500;

= 300 - 500/ = 582е- i"*.

-100/(5 + 5/) 100

Токи в схеме

/j, = д,/д = 500/18е""20 27,8е- "О д.

/22 = Аз/А = 582е- /Ш" = 32,3е-1" А; « = /п-22= 30е/"°3

Топографическая диаграмма изображена на рис. 3.20, б.

§3.21. Активная, реактивная и полная мощности. Под активной 4,ощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности р чя период Т:

P = jpdt = juidt.

Если ток i = /sino), напряжение на участке цепи 1 UJ (3.43)

Р = -[ /t/Sin(i)/sin((i)/ + ф)(1/ =-г-С08ф = С08ф.

/ J Z,

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи в сопротивлении R. Действительно, произведение со5ф = IR. Следовательно,

Р=исо$ц>1 = PR. (3.44)

Единица активной мощности - Вт.

Под реактивной мощностью Q понимают произведение напряжения и на участке цепи на ток / по этому участку и на синус угла Ф между напряжением U и током /:

Q = ( 81пф. (3.45)

Единица реактивной мощности - вольт-ампер реактивный (ВАр). Если 51пф >0, то О >0, если 81пф <0, то О <0.

Рассмотрим, что физически представляет собой реактивная мощность. С этой целью возьмем участок цепи с последовательно соединенными R, L w С. Пусть по нему протекает ток r=/sino)/. Запишем выражение для мгновенного значения суммы энергий магнитного и электрического полей цепи:

= -Hi - cos2(o0 4- --{I + cos2to0-2 2(0 С

Из полученного выражения видно, что W имеет постоянную составляющую Wq, неизменную во времени, и переменную составляющую ш„э, изменяющуюся с двойной угловой частотой:

2(о2с

cos2(o/.

Предполагается, что в 1 с укладывается целое число периодов Т.