ТО чувствительность коэффициента характеризует относительное отклонение коэффициента с/, вызванное относительным изменением элемента х. Как таковое это определение не отличается от определения любой другой относительной чувствительности [см. уравнение (3.1)], а именно

Sl[ = д [In CiVd [In Xi] {Aci/Ci)/(AXilXi). [3.24]

Однако возникают осложнения, если номинальное значение коэффициента, о котором идет речь, равно нулю, поскольку тогда заданная уравнением (3.24) величина стремится к бесконечности. Если, например, отклонение функции F, вызванное элементом X, желательно выразить через чувствительность коэффициента, то получаем

K-{s:s:i;){Ax,IXi). (3.25)

Для номинального значения С/ = О первый член чувствительности в уравнении (3.25) равен нулю, а второй - бесконечности. Однако этого легко можно избежать, деля первый и умножая второй член чувствительности на С/, таким образом

~ijc;)ic,s;)ibxjx. [3.26]

при этом способе выгода от использования членов относительной чувствительности (например, применение табл. 3.1) сохраняется, в то время как обеспечивается их независимость от самого значения С/. Аналогичным образом, отклонение функции F, вызванное коэффициентом усиления А, выражается через чувствительность коэффициента следующим образом:

VA-is:jc,){c,r,i)iAA/A). [3.27]

Расчет отклонения AF/F на основе уравнений (3.26) и (3.27) очень полезен. Первый член чувствительности зависит только от исходной функции цепи F{Cj, s) и берется в виде заданной частотно-зависимой весовой функции. Второй же член, включающий в себя чувствительность коэффициента, как правило, минимизируется. Этот член будет зависеть от типа выбранной для реализации функции F{cj, s) схемы. Наконец, сами относительные изменения элементов Axi/Xi или АА/А всецело зависят от используемой при реализации фильтра технологии и должны учитываться как заданное ограничение. Для снижения этих изменений требуется применение высококачественной технологии, которая в свою очередь обусловливает высокую стоимость окончательной цепи.

3.4. Показатель качества

При проектировании активного фильтра второго порядка на одном усилителе существует, как правило, больше степеней свободы, чем заданных требований или расчетных уравнений. По этой причине в зависимости от технических требований есть возможность оптимизировать схему разнообразными способами. Получаемая степень оптимизации измеряется показателем качества. Полезным показателем качества активных фильтров является степень снижения чувствительности амплитудно-частотной характеристики к изменению элементов, которой можно добиться. Как было показано, эта достижимая минимальная чувствительность может быть представлена либо для наихудшего случая, либо в виде суммы квадратов, что отражено соответственно в уравнениях (3.13) и (3.14). Рассматривая, например, оптимизацию для наихудшего случая, показатель качества для минимальной чувствительности амплитудно-частотной характеристики активного фильтра на одном усилителе в зависимости от изменений г резисторов Ri, с конденсаторов С/ и коэффициента усиления А определяется следующим образом:

Т (ia) Rl

ТЦаУ

Г(/иУ

J Л2

[3.28а]

Как следует из уравнения (3.14), соответствующий показатель качества с точки зрения суммы квадратов задается в виде

Ф« = I Re [vVn f + I Re [FSf f + Re [Г<"]

[3.286]

Для минимизации заданных соотношением (3.28) функций /ц или предполагается использование машинных программ оптимизации, которые теперь превосходят производительность карманных калькуляторов. Тем не менее можно показать, что хорошим показателем минимизации функции или Ф„ служит минимизация параметра ПУЧ, а именно только функции F*". Однако ее необходимо еще больше упростить, поскольку Г"" представляет собой частотно-зависимую функцию, которая пригодна для оценки только для ограниченного числа частот. В случае же функции второго порядка это число частотных точек достаточно мало вследствие того, что сами характеристики соответствующей цепи наиболее чувствительны к смещению элемента в окрестности частоты полюса. Кратко это будет показано в дальнейшем.

Рассмотрим передаточную функцию второго порядка общего вида

T{s)==K - 2,-)/П;., {s - Р,))- (3-29)

2 Зак, 810

Отклонение функции T{s), вызванное изменением ее полюсов, нулей и коэффициента К, задается в виде

T{s) - к .5-г. s~p.- (3.30)

Если добротность полюса qp достаточно высока, что оправдывает оптимизацию для получения минимальной чувствительности, то соотношение (3.30) необходимо оценить в окрестности полюса р = р1 = -Ор -f /йр, комплексно-сопряженное значение которого составляет р*=р2 = -Ор-Шр. Действуя таким образом, уравнение (3.30) можно переписать в приближенном виде

dT{s) T{s)

dp s-p

(3.31)

Выражение (3.31) необходимо оценивать на тех частотах, на которых функция й(Г(/сй)/Г(/со) наиболее чувствительна к изменению элемента. В случае функции цепи второго порядка общего вида это происходит на частотах s = /(cop±ap), которые для полосно-пропускающей цепи второго порядка соответствуют частотам снижения уровня сигнала на 3 дБ. Таким образом, уравнение (3.31) преобразуется к виду

Т (/и)

= da (сОр ± Ор) + j d(f (СОр ± Ор) = Л Чр р

Р da.

(/±1). (3.32)

Ограничивая себя Нахождением показателя качества амплитудно-частотной характеристики [уравнение (3.28) отношения (3.32) получаем

Аа(а)р± 0р) = -7

2 9„

только , из со-

(3.33)

чр "-р

Наш показатель качества теперь соответствует либо наихудшему случаю, либо сумме квадратов погрешностей амплитудно-ча-i стотной характеристики на частотах сОр ± Ор. Принимая во внимание ошибку в амплитудно-частотной характеристике, в наихудшем случае находим, что

Сдаихудший случай ~ о

[3.34]

где предполагается qp 0,5. В последующем будем рассматривать только отклонение амплитудно-частотной характеристики вследствие изменения коэффициента усиления А ОУ, Тогда,

<) Moschytz G. S., Linear Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1975, p. 86.