Она используется наряду с другими параметрами, которые характеризуют чувствительность полюса или нуля к изменению элемента и по этой причине иногда называется корневой чувствительностью. Она также полезна, когда интересуются отклонением амплитудно-частотной характеристики вследствие изменения элемента. Поскольку амплитудно-частотная а (со) и фазово-частотная ф(со) характеристики связаны с самой передаточной функцией Г(х = /со) [см. гл. 2, уравнение (2.8)] следующими соотношениями:

а (со) = Re [In Г (/со)], ф(со) = 1т[1пГ(/со)],

то для вещественного значения элемента х получаем

(ш)

da ((й)

d[\nx] ~

[In Г (/(й)]

Аналогичным образом

rp(ffi) dtp (ю)

d[\nx]

d\\nx]

d[lnr(/cu)]

= Re[S

T (/a)

(3.9a) (3.96)

[3.10a]

d(ln x]

Im[s;""]. [3.106]

Следовательно, изменение амплитудно-частотной характеристики Да (со), вызванное относительным отклонением элемента /S.X/X, определяется следующим выражением:

Aa = i?" (Ax/x) = Re [АГ/Г],

(3.11)

Из формулы (9) в табл. 3.1 находим, что

Аа = Re [ДГ/Г] = Re [Si] (Ах/х) = 51I(Ах/х) = А\Т]/\П [3.12]

где S = /со. Далее будем везде считать, что элемент х и.меет вещественное значение. Для того чтобы оценить погрешность амплитудно-частотной характеристики для наихудшего случая, которая вызывается изменением элементов х, из уравнений (3.4) и (3.5), следовательно, находим, что

(3.13)

fa «наихудший случай

s-/и

Тогда из критерия Скоефлера следует

Фa = ZГ=,Rel,f. (3.14)

Индекс а означает, что рассматриваемой функцией является амплитудно-частотная характеристика а (со). В случае входного полного сопротивления Z имеем

AZ/Z

наихудший случай

(3.15а) (3.156)

Sa=--т-

Для того чтобы работать эффективно, ОУ должен всегда использоваться в том диапазоне частот, где его коэффициент усиления А очень велик. Таким образом, согласно соотношению (3.17), чувствительность 5 стремится к нулю и, вероятно, выпадает из любого процесса оптимизации, предназначенного для минимизации чувствительности функции F к изменению элементов. Для того чтобы предотвратить такую ситуацию, а также из-за различных других причин полезно как параметр ввести произведение усиление-чувствительность (ПУЧ), которое обозначается Г, а именно

Л-»оо

. [3.18]

Эта величина остается конечной при Л->оо, и вследствие этого ее мол<но включить в процесс оптимизации. Сама функция F молет представлять собой любую величину, которая уместна для описания цепи (например, передаточная функция, входное полное сопротивление, полюс, нуль, сор, qp и т. д.).

Рассмотрим, например, изображенный на рнс 3.1 инвертирующий ОУ. Его коэффициент усиления с замкнутой петлей обратной связи р задается в виде

1 И- РоМ

(3.19а)

где h==={RF + Ra)/Ra- (З-б)

В предыдущем разделе мы предполагали, что сами элементы X, являются пассивными и вещественными. Однако на характеристики активных фильтров оказывают такл<е влияние отклонения параметров активного элемента, нз которых наиболее часто рассматривается коэффициент усиления А операционного усилителя. Теоретически коэффициент усиления А является бес-конечны.м в неограниченной полосе частот; на практике же ОУ обладает конечным произведением усиление-полоса частот. Вообще саму зависимость функции цепи F от коэффициента усиления А можно выразить приблизительно в виде

F{A) Fi + (FJA), (3.16)

где функции Fl и Fa не зависят от коэффициента усиления А. Вычисляя чувствительность функции F к изменению А, получаем, что

= 0. (3.17)

Чувствительность р к изменению А

О,

а параметр ПУЧ остается конечным, а именно

1 А =

.4 + Ро

(3.20а)

(3.206)

Следует отметить, что параметр уменьшается при снижении ро. Аналогичным образом, полагая входное сопротивление ОУ

Рис. 3.1. Инвертирующий операционный усилитель.

равным Ri Ом, входное полное сопротивление при замкнутой петле обратной связи составит

Z,,==Ra + RJ(\+ABo), (3.21а)

где RpRpRi/{Rp + Ri) и Во = RMp + Rt). (3.216)

Сама чувствительность стремится к нулю при увеличении коэффициента усиления Л, таким образом

5>:

А > 1

l + R + AR а параметр ПУЧ остается конечным, а именно

Rp + Ri + ARi

А » 1

(3.22а)

(3.226)

Следует отметить, что параметр ГдВ" растет при увеличении Rf.

3.3. Чувствительность коэффициента

Если функция цепи F(s) задается в виде отношения двух Полиномов с вещественными коэффициентами, например

Fis) = ELb,slZl,as, (3.23)