Теперь параметры нормированного фильтра нижних частот задаются

следующим образом: Лтах = ОЛ дБ, Лт1г = 20 дБ, Qc =1, Qs -

= (5000-300)/(3000-500) = 1,88. Используя номограмму, приведепную на рис. 7.15, находим, что предъявленным требованиям будет удовлетворять фильтр Чебышева с порядком « = 4. Из табл 7.3 получаем

Т (S) = 1/(S2 + 0,5285 + 1,330) (S + 1,275S + 0,623).

Из соотношений (7.55) и (7.56а) следует, что S= [s + 4я2(1,5-10)]/(2я X X2500)s. Постановка этого члена в функцию Тvx(s) уравнения (7.57) достаточно громоздка. Однако сама функция фильтра нижних частот будет всегда содержать члены второго порядка общего вида

(S) = 1/(5= + aS + 6). (7.59)

Следовательно, при подстановке

S = (s2 + a)/Ps (7.60)

каждый член второго порядка становится членом четвертого порядка вида

пп (S) = 7(* + "з + "2 + as + ао), (7.61 а)

где А: = Р, (7.616) а2 = 2а-Ьбр, (7.61д)

ао = а\ (7.61b) аз = af, (7.61е)

а, = аар, (7.61 г)

Следует отметить, что частотное преобразование типа НЧПП удваивает порядок соответствующего знаменателя функции нижних частот п-го порядка и вводит член s" в числитель. Это означает, что каждому полюсу функции нижних частот соответствуют два полюса в полосно-пропускающей функции. Необходимо также отметить, что добротности (т. е. qp) вновь преобразованных полюсов полосно-пропускающей функции всегда больше, чем у исходных полюсов функции нижних частот.

Вместо использования процедуры подстановки на основе соотношений (7.59) - (7.61) имеется возможность получить пары полюсов полосно-пропускающей функции, соответствующие отдельным полюсам функции нижних частот, графически). Хотя результаты и получаются недостаточно точными для проектирования фильтров, они дают оценку первого порядка требуемых частот полюсов и, что более важно, их добротностей.

Нормированный вариант частотного преобразования (7.56) имеет вид

S = (p2+l)/6p, (7.62а)

где S представляет собой нормированную комплексную частоту нижних частот, нормированную относительно шг. В полярных координатах она задается следующим образом:

S = Mei<f. (7.626)

) Premoli А., А Frequency Transformation Chart for RC Active Band-Pass Filters, Alta Frequenza. 41. No 6, 468-469 (June 1972).

о -о" о"

ю о о

ООО ООО

Ш о ш о hO

о о - см <t ш

ООООООО

ID ю о го о. о о

- -I о О

о*" О О*" о" - счГ

=10,0 (m, = 1)

= 1 /mj : 1,062

= 1,34

Рис. 7.31. График частотного преобразования для проектирования полосно-пропускающего фильтра.

(Воспроизведено из А Frequency Transformation Chart for RC Active Band-Pass Filters by A Prcmoli, Alta Frequenza, June 1972 о разрешения A. Preraoli, Associazione Eloct-rotechnica et Electtronica Italiana.)

Комплексная частота полосно-пропускающего фильтра, нормированная относительно шг, равна р. В полярных координатах

(7.62в)

Наконец, параметр b представляет собой нормированную относительно частоты &г ширину полосы пропускания В, т. е. из соотношения (7.566) получаем

6 = В/Сйг = (сйв2 -«вО/сОг. (7.62г)

Добротности полюсов функций фильтров нижних частот и полосно-пропускающего соответственно равны

Qi.-=l/2cosO (7.63а) и Qs =1/2 cos ф. (7.636)

Для нахождения пар полюсов полосно-пропускающего фильтра, соответствующих отдельным полюсам фильтра нижних частот, можно теперь использовать приведенный иа рис. 7.31 график частотного преобразования. Полюс фильтра нижних частот Si

характеризуется параметрами Л,- и Ql. где

Ai=Mib.

(7.64)

Полюсы полосно-пропускающего фильтра р, v находятся тогда из этого графика при считывании с него показателя качества Q» и пары коэффициентов т, и т, где

= 1/mv 1.

(7.65)

Пример. Рассмотрим нормированный фильтр нижних частот третьего порядка с вещественным полюсом и комплексной парой полюсов, заданый следующими параметрами; Ali = 0,97, Qi=0,5, Ma = 1,3, Qi - 1,34. Полагая, что относительная ширина полосы частот полосно-пропускающего фильтра 6 = 0,1,

Фarccos

Рис. 7.32. Частотное преобразование НЧ ->- ПП в s-плоскости.

получаем Ai = ЬМ = 0,097, .Да = ЬМ = 0,13. Работая с графиком, как показано на рис. 7.31, находим соответствующие три пары полюсов, выраженные через параметры т и Qs, а именно mi = 1, Qbi = 10,0, ma = 1/тз = = 1,062 и Qs2, s = 21.

Заметим, что график приведенный на рис. 7.31, позволяет быстро оценить добротности полюсов сомножителей полосно-пропускающей функции, поскольку известны полюсы нормированного фильтра нижних частот. Качественно это преобразование, выполняемое в данном примере, изображено на рис. 7.32. Он демонстрирует, как низкие добротности сомножителей функции фильтра нижних частот третьего порядка значительно увеличиваются в соответствующем полосно-пропускающем фильтре шестого порядка. В типовом случае ступенчато-настроенный полоспо-пропускающий фильтр состоит из трех полосно-