обеспечивают инверсному фильтру Чебышева лучшие характеристики времени замедления, и, как следствие этого, они более пригодны для фильтрации импульсов, чем обычные фильтры Чебышева. В других случаях добротности полюсов qp инверсных фильтров Чебышева ниже, чем у соответствуюших фильтров Чебышева. Это достаточно нравдонодобно, если представить инверсный фильтр Чебышева как фильтр Баттерворта, крутизна характеристики затухания которого резко увеличивается на дискретных частотах (т. е. на полюсах затухания), что качественно отражено на рис. 7.25,6. Напомним, что добротности полюсов фильтров Баттерворта существенно ниже, чем у соответствующих фильтров Чебышева (см. табл. 7.2 и 7.3) и вследствие этого инверсный фильтр Чебышева можно считать «фильтром Баттерворта с равноволновой полосой задерживания».

Поскольку инверсный фильтр Чебышева тесно связан с фильтром Чебышева (первый имеет равиоволиовую характеристику в полосе задерживания, а второй в полосе пропускания), то соответствующую передаточную функцию можно легко создать на основе функции фильтра Чебышева. Для того чтобы получить порядок п, используем номограмму для фильтров Чебышева на рис. 7.15,6 или уравнение (7.26), поскольку сам порядок одинаков для обоих типов фильтров при заданном наборе технических требований. Полином знаменателя D,c(s) функции инверсного фильтра Чебышева находится из полинома знаменателя Dc{s) функции обычного фильтра Чебышева при следующей подстановке:

Z),c(s) = s"Dc(s). [7.41]

Это получается вследствие того факта, что амплитудно-частотные функции, которые создаются исходя из полиномов Dic{s) и Dc{s), идентичны, за исключением того, что частоте ю в одной функции соответствует частота l/co в другой. Заметим, что сам полином Dc{s), а именно полином Чебышева, нормирован относительно частоты среза юс. Обращая внимание на то, как формируется одна характеристика из другой, а также исходя из сравнения рис. 7.17 и 7.25,6, становится очевидным, что полином Dic{s) нормирован относительно частоты границы полосы задерживания cos. Таким образом, в противоположность фильтру Чебышева [см. уравнение (7.30)] частота среза полосы пропускания но уровню 3 дБ инверсного фильтра Чебышева задается как

здБ = {м(1/п)АгсЬ(1/е)]}-ш,,

где «здБ<.- [7-42]

Из рис. 7.25 следует, что заданному затуханию Атш в полосе задерживания соответствует коэффициент нульсаций е, где само затухание в полосе задерживания составляет е{Iе)-/. Затухание внутри полосы пропускания Атах соответствующего

полинома Чебышева Dc{s) равно (l-f-)", где используется один и тот же коэффициент пульсаций е. Следовательно, например, при п = 3 и е = 0,5 из табл. 7.3 находим, что Dc{s) = = (0,626 + s) (1,142-(-0,626s-Ь s), где используется несколько меньшее значение е = 0,349 для того, чтобы гарантировать коэффициент сохранности полосы пропускания. Из уравнения (7.41) следует, что D;c(s) == 5(0,626 + 1/s) (1,142 + 0,626/s-f + l/s2) =0,715(5+ 1,597) (s2+ 0,5485 + 0,876).

Сам же полином числителя N(s) функции T(s) находится из выражения

N is) N (- 5) = со"С (1/со) [7.43]

где Сл(сй) -так называемый полином Чебышева п-го порядка, перечень которых приведен в табл. 7.9. Эти полиномы играют

важную роль в формиро-Таблица 7.9. Нормированные полиномы вании равноволновых

Чебышева Сп (м) функций, Т. е. таких, как

у фильтров Чебышева. п с„(<в) Однако нет необходимо-

. . .-- сти приводить их здесь,

Q J поскольку в наличии име-

J щ ется много таблиц и дру-

2 2со2 1 гих средств расчета, в ко-

3 4(йЗ 3(о торых они уже учтены.

5 £r-20cot5co уравнении (7.43) опре-

6 32со« - 48со4 Шсо ~ 1 деляется произведение

7 64ш-112ш5 + 56со* -7со ДВух ПОЛИНОМОВ, а имен-

8 128ш8 - 2560)" + 160(0* - 32«2 + 1 НО Л/(5) И Л(-s). Однако . -- поскольку нули полинома

Л(5) должны располагаться на оси /о), то нули полинома iV(-5) будут идентичны, т. е. оба полинома содержат одинаковые сомножители, которые все имеют вид (s + a). Таким образом, из табл. 7.9 для приведенного примера при п = 3 получаем Сз(ю)=4а) - Зсо, а из уравнения (7.43) Л/(5)Л(-5) = со (4/(0 - З/ю) = (4- - 30)2)2 (352+ 4)2. Поэтому Л/(5) = 35 + 4, 3 персда-

точная функция имеет следующий вид:

(S + 1,597) (s2 + 0,548s -f 0,876) где постоянный коэффициент 0,715 в полиноме Dic(s) исключили и ввели его в постоянный коэффициент К. Как и в предыдущем примере, коэффициент К будет определяться исходя из уровня сигнала на заданной частоте, например, для того чтобы Г(0) I =1, коэффициент К должен быть приблизительно равен 1,6.

Наконец, хотя это и не обязательно для формирования передаточных функций, может быть интересно сравнить амплитуд-

но-частотные характеристики фильтра Чебышева 7с(/сй) и инверсного фильтра Чебышева 1 Т.с (/м) , выраженные через ноли-номы Чебышева С„(со), и коэффициент пульсаций е. Для фильтра Чебышева имеем

I Гс (/со) I = l/Vl +ес. И. [7.44]

Анализ полиномов Чебышева в табл. 7.9 показывает, что для нечетного порядка п

Гс (0)1=1, (7.45а)

а для четного Tq (0) == \JT+~. (7.456)

Уравнение (7.456) характеризует неравномерность передачи в полосе пропускания (см. рис. 7.17). Поскольку сами полиномы С«(сй) нормированы относительно частоты среза сое, то С„(со = сос) = С„(1) = 1 для всех порядков п. Следовательно,

при со = СОс

irc(l)=l/Vl (7.45в)

что также изображено на рис. 7.17.

Для инверсного фильтра Чебышева имеем

I Ticih) I = eC„(l/co)/V 1 -f eclilM . [7.46] Следовательно, для всех значений порядка п

Г,с (0)1=1, (7.47а) а для со = cus (см. рис. 7.25,6) и всех порядков п

\Т1с{1)\ = е/л/1+е. (7.476) Уравнение (7.476) характеризует полосу задерживания.

7.5. Масштабирование по частоте и уровню сигнала

а. Масштабирование по частоте

Передаточные функции фильтров нижних частот, заданные в этой главе через их полюсы и нули, все были нормированы относительно некоторой оговоренности частоты сог- Это делается для удобства их табличного задания. При введении нормированных частот

0 = со/со, (7.48 а)

и 5 = sK (7.486)

типовая передаточная функция второго порядка будет иметь вид Г (S) = /( [S + [Qz/Qz) S + ifz\/[s + [ilp/qp) S + Qll (7.49)