ванная передаточная функция фильтра Баттерворта пятого порядка получается в виде

Г (s) = Kl(s -+- 1,618s + 1) (s2 + 0,618s + 1) (s + 1). (7.24)

Соответствующий активный фильтр можно реализовать в виде каскадного соединения полиномиальных активных цепей второго порядка с добротностью полюса соответственно 1,62 и 0,62 (см. табл. 7.2, часть «б») и ЛС-звеном первого порядка, как показано иа рис. 7.1,6. Альтернативный путь состоит в реализации каскадного соединения фильтра нижних частот соответственно третьего и второго порядков. В этом случае пара полюсов с более низкой добротностью предпочтительно должна комбинироваться с третьим полюсом. Следовательно, вместо уравнения (7.24) функция T(s) задавалась бы следующим образом:

Т (s) = Kl(s + 2,618.s2 -f 2,618s + 1) (s + 0,618s + 1). (7.25)

При ее реализации иа звеньях второго порядка можно использовать приведенную в гл. 5 схему 1 (НЧ -HQ), поскольку значение параметра qp для обеих схем не превышает 2. При реализации же на основе звеиа второго и третьего порядков само звено третьего порядка нижних частот можно разработать с помощью приведенных в дополнительной литературе) рекомендаций.

6. Фильтры Чебышева, или равноволновые фильтры

Амплитудно-частотные характеристики фильтров Чебышева имеют колебания коэффициейта передачи в полосе пропускания и спадают монотонно в полосе задерживания. Исходя из приведенных на рис. 7.15, а характеристик параметров фильтра, порядок п определяется следующим образом:

я = АгсН[(10°™"- l)/(lO"-x l)]7ArchKK) [7.26]

где Ат\п и Лтах задаются в децибелах.

Пример. Как и в приведенном выше примере, т. е. Лтах = 0,1 дБ, Ашш - = 30 дБ и Ws/cOc = 1,5, из уравнения (7.26) находим, что п = 6,26, таким образом, порядок п должен выбираться как ближайшее большее целое число, а именно равным 7. Следует отметить, что сам порядок п снижается от 14-го - для фильтра Баттерворта до 7-го - для фильтра Чебышева только Sa счет введения неравномерности передачи 0,1 дБ. При увеличении же неравномерности необходимо еще больше увеличить крутизну затухания, а требуемый порядок фильтра снизить. Однако, как правило, допустимая неравномерность передачи в полосе пропускания точно обусловлена и ие подлежит изменению.

Само выражение (7.26) также можно представить в виде номограммы, как показано на рис. 7.15,6. Эта номограм.ма используется вслед за приведенной на рис. 7.14 процедурой. Раз порядок п установлен, то для заданной неравномерности передачи в полосе пропускания (т. е. значения Лтах) из табл. 7.3 можно определить соответствующий полином D(s). Здесь полиномы D(s), которые представлены в виде сомножителей с отрицательными вещественными и комплексно-сопряженными полюсами (часть «а») и соответствующих добротностей полюсов (часть «б»), заданы соответственно для Лтах = 0,1, 0,5, 1, 2 и 3 дБ и передаточных функций до 10-го порядка

А, ЗБ

/ Полот у вадертивания

40 +

1,0 i

0,06 004 0,02

0,01 1 0,005

0,001 \ 0,0005

0,0001 -. 0,00005 -

140 130 i 120 I 110 I 100 90 i 80 70 i:

eoii-

50 i-

40 :

20 10;

4 5 6 7 8 9 10

Рис. 7.15. Фильтры Чебышева нижних частот.

а - технические требования; б - номограмма для определения порядка п. (Воспроизведено с разрешения Wiley. Inc. из Handbook of Filter Synthesis by A. I. Zverev, Wiley, Inc., New York, 1967.)

Таблица 7.S. Полиномы знаменателя фильтров Чебышева (нормированные относительно частоты w)

а) Сомножители нормированных полиномов знаменателя п Неравномерность передачи 0,1 дБ (е = 0,153)

1 (6,552 + S)

2 (3,314 + 2,372s + s)

3 (0,969 + s) (1,690 + 0,969s + s2)

4 (1,330 + 0,528s + s2) (0,623 + 1,2755 + s)

5 (0,539 + s) (1,195 + 0,333s + s) (0,636 + 0,872s + s)

6 (1,129 + 0,229s + s2) (0,696 + 0,627s + s) (0,263 + 0,856s + s)

7 (0,377 + s) (1,092 + 0,168s + s) (0,753 + 0,470s + s) (0,330 + 0,679s + s)

8 (1,069 + 0,128s + s2) (0,799 + 0,364s + s) (0,416 + 0,545s + s) (0,146 + + 0,643s + s2)

9 (0,290 + s) (1,054 + 0,101s + s) (0,834 + 0,290s + s) (0,498 + 0,445s + + 5) (0,201 + 0,546s+ s2)

10 (1,044 + 0,082s + s2) (0,862 + 0,237s + «=) (0,568 + 6,369s + s) (0,274 + + 0,465s + s2) (0,092 + 0,515s + s)

n Неравномерность передачи 0,5 дБ (e = 0,349)

1 (2,863 + s)

2 (1,516+ 1,426s + s2)

3 (0,626 + s) (1,142 + 0,626s+ s2)

4 (1,064 + 0,351s + s) (0,356 + 0,847s + s)

5 (0,362 + s) (1,036 + 0,224s + s) (0,477 + 0,586s + s)

6 (1,023 + 0,155s + s2) (0,590 + 0,424s + s) (0,157 + 0,580s + s)

7 (0,256+ s) (1,016 + 0,114s + s) (0,677 + 0,3l9s + s) (0,254 + 0,462s + s)

8 (1,012 + 0,087s + s2) (0,741 + 0,248s + s) (0,359 + 0,372s + s) (0,088 + + 0,439s + s2)

9 (0,198 + s) (1,009 + 0,069s + s) (0,789 + 0,198s + s) (0,453 + 0,304s + + s2) (0,156 + 0,373s+ s2)

10 (1,007 + 0,056s + s2) (0,862 + 0,162s + s) (0,532 + 0,252s + s) (0,238 + + 0,318s + s2) (0,056 + 0,352s + s)

n Неравномерность передачи 1 дБ (e = 0,509)

1 (1,965 +s)

2 (1,103 + 1,098s + s2)

3 (0,494 + s) (0,994 + 0,494s + s)

4 (0,987 + 0,279s + s) (0,279 + 0,674s + s)

5 (0,289 + s) (0,988 + 0,179s + s) (0,429 + 0,468s + s)

6 (0,991 + 0,124s + s2) (0,558 + 0,340s + s) (0,125 + 0,464s + s)

7 (0,205 + s) (0,993 + 0,091s + s) (0,653 + 0,256s + s) (0,230 + 0,370s + s)

8 (0,994 + 0,070s + s) (0,724 + 0,199s + s) (0,341 + 0,298s + s) (0,070 + + 0,352s + s2)

9 (0,159 + s) (1,00 + 0,06s + s2) (0,78 + 0,16s + s) (0,44 + 0,24s + s) (0,14 + + 0,30s + s)

10 (0,996 + 0,045s + s) (0,814 + 0,130s + s) (0,521 + 0,203s + s) (0,227 + + 0,255s + s) (0,045 + 0,283s + s)