ристики затухания и группового времени замедления фильтров Бесселя, Баттерворта, Чебышева и Чебышева - Каузра (последний имеет неравномерность передачи 0,1 дБ) пятого порядка.

Типовые характеристики различных фильтров при входном прямоугольном колебании качественно представлены на рис. 7.5. Для фильтров Баттерворта и Чебышева в характеристиках наблюдаются колебательные выбросы, которые появляются в результате нелинейности их фазово-частотных характеристик, отсутствие же выбросов в фильтре Бесселя показывает, насколько хорошо этот тип фильтра аппроксимирует желаемую линейную фазово-частотную характеристику. Как и ожидалось, характеристика фильтра Чебышева хуже остальных двух, поскольку его фазово-частотная характеристика еще более нелинейна, чем у фильтра Багтерворта (см. рис. 7.4). Более подробно это изображено на рис. 7.6, где приведены кривые затухания и переходные характеристики фильтров Бесселя, Баттерворта и Чебышева (с неравномерностью 0,1 дБ) для фильтров вплоть до 10 порядка.

Существуют также переходные фильтры, которые дают компромиссные характеристики, сочетающие свойства двух типов фильтров. Одним из наиболее употребительных является фильтр Баттерворта - Томсона, в котором сделана попытка скомбинировать максимально плоскую амплитудно-частотную характеристику фильтра Баттерворта с максимально плоской характеристикой группового времени замедления фильтра Бесселя или Томсона.

7.Э. Передаточные функции полиномиальных фильтров

Полиномиальные фильтровые цепи характеризуются тем, что их передаточные функции не содержат конечных нулей. Типовая передаточная функция п-го порядка описывается следующим образом:

Т is) = KID is) = KJY{% 1 [s - p,). (7.7)

Таким образом, ее числитель задается как постоянное число, а сама передаточная функция содержит только полином п-го порядка в ее зна.менателе. Поэтому фильтры с такими передаточными функциями называются полиномиальными. Считается, что п нулей функции Т(s) располагаются в бесконечности (заметим, что Ит,ооо7"(/со) I =0). Из рассмотренных в предыдущем разделе основных типов фильтров к классу полиномиальных относятся фильтры Баттерворта, Чебышева, Лежандра, Бесселя и Баттерворта - Томсона. В противоположность им считается, что инверсные Чебышева и Чебышева - Кауэра фильтры содержат конечные нули. В этом случае числитель функции T(s) также

Представляет собой полином, корни которого (т. е. нули функции T{s)) являются конечными, т. е. лежат на оси /со сопряженными парами. В любом случае порядок п функции Т(s) связан с порядком полинома знаменателя D{s), т. е. порядок определяется числом полюсов функции T{s). Для того чтобы реализовать полиномиальную цепь п-го порядка, необходимо соединить каскадно п/2 полиномиальных цепей второго порядка

Баттерворта

Б ее сел я-у.

-X-I

Чекшева

Рис. 7.7. Сравнение размещения полюсов фильтров Бесселя, Баттерворта и Чебышева.

Рис. 7.8. Обозначения полюсов, соответствующих уравнениям (7.8)-(7.10).

как описано в разд. 7.1. Если же функция 7(5) имела конечные нули, то соответствующее число цепей второго порядка также должно содержать конечные нули. В любом случае полиномиальная цепь будет всегда более простой для реализации, чем цепь с конечными нулями. В частности, отсутствует проблема настройки конечных нулей (см. гл. 6, разд. 6.7), что является одним из главных преимуществ полиномиального фильтра. О других его преимуществах, таких, как более линейная фазово-частотная характеристика и, следовательно, лучшая и.м-пульсная характеристика, было кратко упомянуто в предыдущем разделе.

Для того чтобы определить, какая из основных полиномиальных цепей наиболее приюдна в данном применении, полезно провести последовательное сравнение их характеристик: ампли-тл дно-частотной, фазово-частотной и группового времени замедления. Эти характеристики определяются расположением п полюсов функции Т{s) в s-плоскости. Так, полюсы фильтра Баттерворта лежат на полуокружности в левой половине s-плоскости, полюсы фильтра Чебышева расположены на эллипсе, который с

увеличением неравномерности передачи становится уже, а полюсы фильтра Бесселя находятся на кривой, лежащей вне окружности фильтра Баттерворта. Качественно все это изображено на рис. 7.7. Исходя из данных на рис. 7.8 обозначений (см. также в гл. 2 разд. 2.2), амплитудно-частотная характеристика полиномиального фильтра п-ного порядка определяется следующим образом;

I Т (/со) = /С/1 D (/со) I = /с/П (со). (7.8)

При

(-) = Н - = + - %,)- (7-9,

Эта амплитудно-частотная характеристика задается в виде

I Т (/со) I = К/Ц%, a.-f (c0-c0j2. [7Л0]

При соответствующем выборе параметра К амплитудно-частотную характеристику можно пронормировать так, что максимум характеристики будет равен единице для всех значений частоты со. За исключением фильтра Чебышева нечетного порядка п, этот максимум располагается в точке со=0, т. е. 7"(0) = 1. Использование этого нормирования позволяет осуществить эффективное сравнение амплитудно-частотных характеристик наиболее важных полиномиальных цепей нижних частот, как изображено на рис. 7.9. Следует отметить, что эти характеристики вычерчены в логарифмическом масштабе согласно выражению (2.9) для а дБ гл. 2. Кроме того, сами характеристики также пронормированы и по частоте относительно частоты затухания 3 дБ (создб), т. е. со=создБ=1 рад/с. Это нормирование является обычным для фильтров Баттерворта и Лежандра, а не для остальных типов фильтров, чьи характеристики приведены на рис. 7.9. Однако в целях сравнения можно использовать только нормирования по частоте (рис. 7.9).

Фазово-частотная характеристика функции 7"(/со) задается в виде

9(co) = argr(/a.) = -Zj-iep/. (7. И)

Из рис. 7.8 следует, что

8p; = arctg[(co-u)p/)/-ap;], (7.12)

таким образом, Ф (») = -arctg [(со - 5;)/- Стру]. [7.13]

Соответствующие уравнению (7.13) фазово-частотные характеристики основных типов полиномиальных фильтров вычерчены на рис. 7.10 относительно нормированной оси частот (т. е. ю = создБ =1). Хотя линейность фазово-частотной характеристики и является здесь важным параметром, из приведенных гра-