вида

Та is) = Ка [is + a,)/(s + ар)] (7.5а)

либо в случае функции нижних частот

Tais)KJis + a). (7.56)

Полагая, что показатель п является четным числом, заданную соотношением (7.3) передаточную функцию 7(5) можно реализовать с помощью каскадного соединения п/2 функциональных узлов фильтров второго порядка, основные классы которых представлены в гл. 5. Это изображено на рис. 7.1,а.

Вход 1

Выход 1

~t 6

Рис. 7.1. Каскадное соединение фильтровых функциональных узлов второго порядка.

а - для п четного; б - при п нечетном добавляется звено первого порядка.

Выходной сигнал каждого функционального узла снимается с выходного контакта ОУ, который обладает очень низким выходным полным сопротивлением. В результате этого отдельные функциональные узлы изолированы один от другого и могут соединяться каскадно в любой последовательности. Однако, как будет показано в разд. 7.8, может существовать такая последовательность их соединения, которая позволяет получить максимальный динамический диапазон у результирующего фильтра п-го порядка. Если же я-нечетное число, то необходимо использовать звено первого порядка (разновидность которого показана на рис. 7.1,6) для того, чтобы реализовать заданную соотношением (7.5а) функцию Тais) общего вида. Тогда, исходя из этого соотношения, получаем, что

i(a-=PC,/Cp, (7.6а) а,= 1 ?,С,, (7.66) aXlRfp, (7.6в) где Rp = RiR2{Ri + R2)~K а СрС.С,.

Как следует из уравнения (7.5,6), в схеме звена нижних частот первого порядка требуются только резистор Ri и конденсатор Сг (см. рис 7.1,6), где

Ka = IRiC (7.6г) и a=l ?iC2- (7.6д)

Звено верхних частот первого порядка легко получить, если в приведенной на рис. 7.1,6 схеме оставить только конденсатор С и резистор Ri.

Из вышеприведенного рассуждения следует, что после того, как получена функция T{s), саму процедуру конструирования фильтра можно легко реализовать на основе каскадного соединения функциональных узлов второго (или третьего) порядка. Функция T{s), заданная в основном через ее полюсы и нули, разлагается на пары полюс-нуль (разд. 7.7), каждая из которых описывает функцию второго порядка T,{s) вида (7.4). Каждая эта функция Tj{s) реализуется на основе приведенного в гл. 5 перечня схем. Затем результирующие функциональные узлы соединяются каскадно, как показано на рис. 7.1, с тем чтобы обеспечивалась желаемая функция Т[s) п-го порядка.

Если же функция 7(5) первоначально задана в виде отношения полиномов, т. е. аналогично выражению (7.1), то сначала необходимо вычислить корни полиномов N{s) и D{s) с тем, чтобы представить функцию T{s) в требуемом виде (7.3). Вопрос о том, какая пара комплексно-сопряженных полюсов объединяется с какой парой нулей для формирования каждой функции T,{s), будет кратко рассмотрен в разд. 7.7. Хотя теоретически каждая из (пД)! возможных комбинаций пары полюс - нуль и приводит к той же самой передаточной функции T{s) общего вида, можно показать, что существует их оптимальный выбор, обеспечивающий максимальный динамический диапазон и минимальный уровень шума. Однако сначала необходимо сосредоточить свое внимание на центральном вопросе, оставшемся в этом разделе, а именно как найти наиболее подходящую передаточную функцию T{s), способную обеспечить заданные амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики. Это и будет основной темой оставшейся части этой главы.

7.2. Основные типы фильтров

Наиболее важные типы фильтров, которые исследованы наилучшим образом, описываются характеристиками фильтра нижних частот. В разд. 7.2 будет показано, что можно легко найти связь всех остальных типов фильтров (например, полосно-пропу-скающих, верхних частот и т. д.) с характеристиками нормированного фильтра нижних частот. Таким образом, решив задачу аппроксимации (т. е. формирование рациональной функции T{s), которая удовлетворяет заданным амплитудно-частотной

И фазово-частотной характеристикам) в «области нижних частот», относительно просто получить соответствующие характеристики других фильтров.

Линейная амплитудно-частотная характеристика идеального фильтра нижних частот приведена на рис. 7.2, а, а соответствующие ей потери отражения в децибелах показаны на рис. 7.2, б.

, Переходная / область = О

"mm

Рис. 7.2. Характеристики идеального фильтра нижних частот. и - амплитудно-частотная характеристика, б - вносимые потери.

Идеальный фильтр нижних частот характеризуется: а) нулевыми потерями и пульсациями в полосе пропускания, б) бесконечной крутизной характеристики затухания на частоте среза /с (т. е. нулевой щириной переходной области) и в) бесконечным затуханием в полосе задерживания. Вследствие очевидных причин идеальный фильтр нижних частот с характеристикой такого вида часто называется фильтром «кирпичная стена». В основном предполагается также, что его фазово-частотная характеристика является линейной. Этот идеальный фильтр нижних частот выделяется тем, что не существует рациональной передаточной функции T{s), пригодной для точного его описания. Следовательно, аналитическое описание идеального фильтра нижних частот в лучшем случае может быть аппроксимировано. В области теории классических цепей было создано много таких аппроксимаций. Лучшие и наиболее часто применяемые можно сгруппировать в основные классы, характеристики которых качественно изображены на рис. 7.3. Кратко их можно описать следующим образом.

а. Фильтры Баттерворта, или фильтры с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой

Фильтры с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой или аппроксимация по Баттерворту идеального фильтра нижних частот изображены на рис. 7.3, а. Во многих отношениях фильтр Баттерворта обеспечивает определенный