функции второго порядка

где z, z* = -o ± /й, P P" == -Op ± j5)p.

(2.4)

(2.5a) (2.56)

Полюсы и нули можно изобразить на плоскости комплексной частоты или 5-плоскости, как показано на рис. 2.1. Отметим, что

l==al + 5>l clal + &l (2.6а)

(2.66)

Для нахождения частотной характеристики цепи, описываемой соотношением (2.1), положим входной сигнал синусоидальным, ju) и поскольку это линейная цепь,

получаем синусоидальным и выходной сигнал. Эта характеристика определяется при подстановке S =/и в уравнение (2.3), следовательно,

. И«„, (/со-р/)

= Г(/(й)1еР<">. (2.7)

Логарифмируя соотношение (2.7), получаем

1пГ(/(о)=1пГ(/(й 1)4-+ /агд7(/со) = а((о) + /ф(со), (2.8)

где а (со) ф((о) представляют собой амплитудно-частотную и фа-зово-частотную характеристики, заданные соответственно в непе-рах и градусах. Амплитудно-частотная характеристика в децибелах определяется следующим образом:

Рис. 2.1. Диаграмма полюсов и нулей передаточной функции второго порядка.

«ДБ (со) = 20 lg \Т (М I = jQ- а (со)

а характеристика группового времени замедления - в виде

т;((й) = -й?ф((0)/й?(0.

8,686а (со), [2.9]

[2.10]

В качестве примера рассмотрим следующую передаточную функцию пятого порядка:

[s + K,/M + -p.][ + (W) + -p2]( + «)

Следует отметигь, что функция T{s) обладает только конечными полюсами, поскольку ее числитель представляет собой по-

а,Э5

-30 Зб/октава -log J

у.--0,9621 -0,53-16

- 0,2157 -0,1745 -0,068В

-х-к

• аг

X --0,594$

-o,mi

Рис. 2.2. Расположение полюсов передаточной функции, заданной уравнением (2.11).

log (i)

Рис. 2.3. Характеристики передаточной функции, заданной уравнением (2.11): амплитудно-частотная (а), фазово-ча-стотная (б) и группового времени замедления (з)

стоянное число (считается, что ее пять нулей находятся в бесконечности). Расположение полюсов приведено на рис. 2.2, а характеристики (амплитудно-частотная, фазово-частотная и группового времени замедления) изображены на рис. 2.3.

Передаточная функция T(s) обусловливает только амплитудно-частотную характеристику, т. е. отношение выход-вход нашей цепи, в то время как технические требования, предъявляемые к фильтру, очень часто выражаются через характеристику затухания, а именно отношения вход-выход. Для актив-

НЫХ цепей, которые рассматриваются в этой книге, соотношение между амплитудно-частотной характеристикой и затуханием тривиально. Во всех случаях будем полагать, что активный фильтр возбуждается от источника напряжения, а выходной сигнал снимается с выходного контакта операционного усилителя. Это означает, что полное сопротивление источника сигнала равно нулю, а сопротивление нагрузки бесконечно. По

Рис. 2.4. Типовые условия работы активного фильтра,

этой причине передаточная функция будет равна отношению напряжений выход-вход, что соответствует изображенным на рис. 2.4 условиям работы, т. е.

T{s){V,,,\V,,){s). (2.12)

Функция затухания Н(s) задается тогда следующим образом;

H{s) = {V,JV,,){s)=l/T{s). (2.13)

Для случая синусоидального входного воздействия определим характеристики затухания и фазово-частотную в виде

In Я (/со) = in I Я (/со) I 4- /arg Н (/со) = Л (со) + jB (со) (2.14)

и логарифмическую характеристику затухания как

Лб(") = 201gЯ(co). [2.16]

Характеристика затухания функции цепи (2.11) приведена на рис. 2.5.

Из вышеприведенных условий функционирования активных фильтров (рис. 2.4) следует, что характеристика затухания Л дб очень просто находится из амплитудно-частотной характеристики что в свою очередь можно непосредственно установить, анализируя саму передаточную функцию [см. уравнение (2.9)]. Сравнивая соотношения (2.9), (2.13) и (2.15), получаем

дб=-«дв(«>)- [2.16]

Кроме того, характеристика Лдб соответствует рассмотренным в гл. 1 вносимым потерям и, следовательно, обеспечивает переход к классическим аналитическим методам синтеза и, в частности, дает возможность использовать таблицы по расчету традиционных LC-фильтроВ. Отметим, что приведенная на рис. 2.5 характеристика затухания соответствует показанным