Поскольку этот коэффициент усиления ОУ с замкнутой петлей обратной связи равен единице,

-- (4.5)

1-32 (S) d (S) - is)

Следовательно, нули функции 7(5) определяются нулями функции 12 (s), а ее полюсы являются корнями полинома d(s) - - «32(5). Эти полюсы и нули обоих изображенных на рис. 4.1 функциональных узлов определяются самой пассивной RC цепью. Коэффициент усиления задается либо равным единице, либо как коэффициент усиления ОУ с разомкнутой петлей обратной связи и в дальнейшем не может быть подрегулирован. Добротность полюса определяется в виде отношения двух резисторов Rq я R или двух конденсаторов Cq и С, так что, как правило,

RqlR-ql или CJCAql. (4.6)

В общем виде параметр ПУЧ выражается через qp следующим образом:

r> = Vp- (4.7)

где постоянный множитель k является функцией пассивных элементов. Следует отметить, что простота представленной на рис. 4.1 топологии достигается дорогой ценой. Из уравнения (4.6) видно, что разброс номиналов резисторов и конденсаторов растет пропорционально 4, Кроме того, параметр ПУЧ в уравнении (4.7) прямо пропорционален 9. Таким образом, использование этих простых функциональных узлов фильтров ограничено только низкодобротными применениями. При их применении до значений добротности полюса

с?<2 (4.8))

недостатки, описываемые уравнениями (4.6) и (4.7), становятся несущественными.

4.2. Среднедобротные функциональные узлы [qp 20)

Функциональные узлы фильтров, значения параметра qp которых достигают, скажем, 20, называются «среднедобротными» функциональными узлами, для которых требование обеспечения предельной простоты уже не может сохраняться. Для того чтобы исключить пропорциональности разброса резисторов и параметра ПУЧ, что присуще низкодобротным функциональным

) Естественно, что этот верхний предел до некоторой степени является произвольным и зависит от требовании, предъявляемых к конкретному применению.

узлам, необходимо ввести некоторую дополнительную цепь, как показано на рис. 4.2. Изображенная на рис. 4.2,а схема с отрицательной обратной связью отличается от схемы на рис. 4.1,а тем, что в нее включена ступень положительной обратной связи а, где

a = R,l{R,-\-R). (4.9)

Эта положительная обратная связь преобразует передаточную функцию (4.2) следующим образом:

Г(5) = Уеь,х/К,, = -Л/,2/[1 +Л(/з2-а)]. (4.10)

Следовательно, при использовании ОУ с разомкнутой петлей обратной связи, т. е. коэффициент усиления Л 1, получаем

ns)\A»i- t,,(s)-a~ m{s)-ad(s)-

В данном случае отношение резисторов а обеспечивает дополнительный параметр настройки, который можно использовать

RC-цепь

У R

ei)l)C

RC-цепь

Рис. 4.2. Среднедобротные функциональные узлы.

а - с отрицательной обратной связью; б - с положительной обратной связью.

для независимой в первом приближении от частоты полюса Юр регулировки qp.

Приведенная на рис. 4.2,6 структура с положительной обратной связью отличается от структуры на рис. 4.1,6 тем, что коэффициент усиления ОУ с замкнутой петлей обратной связи р не является теперь единичным, но может быть отрегулирован на

вполне определенное значение, а именно, считая операционный усилитель идеальным, имеем

= \ + {RJR). (4.12)

Используя передаточную функцию (4.4), находим теперь, что

Т {S) = = т2 (s)/[/ is) - Р«32 {s)l (4.13)

Здесь коэффициент р снова представляет собой параметр настройки, с помощью которого можно независимо от частоты полюса Юр (в первом приближении) отрегулировать значение qp.

Среднедобротные

Высомдоротные

Рис. 4.3. Соотношение между показателем качества (?р и настроечным резистором Кц для средне- и высокодобротных функциональных узлов.

Для обеих показанных на рис. 4.2 схем соотношение между Rq И qp задается в следующем виде:

Rq = K-{Klqp\ (4.14)

где параметры k\ и имеют размерность сопротивлений. Графическое представление этого выражения приведено на рис. 4.3. Следует отметить, что недостаток, связанный с увеличивающимся разбросом номиналов резисторов при росте qp, исключен. С другой стороны, из рис. 4.3 становится очевидной еще одна проблема, а именно что при увеличении qp все в большей степени становится необходимым обеспечение точного значения резистора Rq. Следовательно, максимально достижимое значение qp зависит от того, с какой точностью можно подогнать номинал резистора Rq к требуемому значению. Это в свою очередь определяется имеющимся в наличии оборудованием, на котором производится настройка, а также технологией, по которой изготавливаются сами резисторы.

Кроме проблемы точной настройки высоких значений параметра qp, которая отражена на рис. 4.3, существует и вторая связанная с ней проблема. Если рассмотреть чувствительность параметра qp к изменению сопротивления Rq, то из уравнения (4,14) находим, что