ные уравнени-ем (3.4С0 выражения должны быть подставлены в выражение (3.35) или в эквивадентное выражение для Фд. Таким образом, например, при qp > 1 получаем

а Re

A "Ж"

~Ъ\т

L Л2 J

а Im

+ ftRe

Из соотношения (3.49) следует, что

-rPlm

r>Re

Г АЛП

-2аГ"Р1т

АЛ 1

"Ж

ДЛ 1

(3.49) (3.50а) (3.506)

(3.51а) (3.516)

Таким образом, при использовании подходящей частотной коррекции вещественную и мнимую части (АЛ/Л) можно преобразовать так, что или А(йр/(йр, или \Aqp/qp\, но не обе величины сразу возможно минимизировать.

Заданные соотношениями (3.46) и (3.48) показатели качества представляют собой значительно упрощенные интерпретации первоначальных величин [уравнения (3.28а) и (3.286)]. Такое упрощение необходимо, если расчет и оптимизация звеньев активных фильтров второго порядка должны производиться на мини-ЭВМ или даже на карманном калькуляторе. К счастью, эти упрощенные величины первого порядка представляют собой очень хорошие единицы измерения степени оптимизации, достижимой для любого заданного звена фильтра второго порядка. Минимумы функций /а и Фа в ззвисимости ОТ отклонений пассивных элементов относительно плоские и в большей степени зависят от минимизации функции Г.а в соответствующих случаях от 9рГР. Если же в виде показателя качества должны использоваться заданные соотношениями (3.28) полные выражения функций /„ или Ф„ из-за того, что, например, амплитудно-частотная характеристика а (со) оказывается очень чувствительной к изменению пассивных элементов или ожидаются значительные отклонения номиналов пассивных элементов, то для минимизации этих функций потребуется использование большой ЭВМ. Расширенное исследование этого типа оптимизации, для которой в процедуру расчета включаются все чувствительности пассивных элементов, достаточно просто, поскольку предварительные шаги представлены выше. Однако это выходит за рамки настоящей книги.

4.1. Низкодобротные функциональные узлы ( 2)

Поскольку усложнение предъявляемых к активным фильтрам требований вызывает увеличение добротности полюсов их передаточных функций, целесообразно ввести категорию низко-добротных функциональных узлов, главной особенностью которых является их предельная простота. Последнее особенно характерно для систем связи, в которых требования по избирательности для различных формирующих фильтров вполне обеспечиваются функцией, добротность доминирующего полюса которой не превышает, скажем, 2. Для того чтобы оговорить предельную простоту таких звеньев фильтров второго порядка или функциональных узлов, предположим, что они имеют: а) минимальную потребляемую мощность (т. е. единственный операционный усилитель); б) минимальное число элементов; в) минимальные требования по настройке или, если возможно, их отсутствие.

Низкодобротные функциональные узлы, таблицы которых приведены в гл. 5, основаны на двух изображенных на рис. 4.1 топологиях активных фильтров. Они обе являются взаимодополняющими; модель с отрицательной обратной связью (рис. 4.1,а) использует ОУ с разомкнутой петлей обратной связи, а модель с положительной обратной связью (рис. 4.1, б) - ОУ в режиме повторителя напряжения с коэффициентом передачи, равным единице Для того чтобы математически описать эти цепи, полезно ввести следующие передаточные функции по напряжению:

и (S) =

1/3-0

1/1 = 0

1/1 = 0

(4.1a)

(4.16)

Следует отметить, что степень полиномов числителя меньше или равна 2, полиномы знаменателя имеют вторую степень и явля-

Функциональные узлы

для каскадного проектирования фильтров

ются одинаковыми для двух передаточных функций одной и той же У?С-цепи.

Из уравнений (4.1) получаем цепь с отрицательной обратной связью (или класс-3) )

Т {S) = Увых/зх = - 12/(1 + Л/з2).

(4.2)

Здесь операционный усилитель включен в режиме с разомкнутой петлей обратной связи, вследствие этого Л » I и

() 1л » 1 = ~ 12 (s)/32 {S) = - «12 (s)/«32 is)-

(4.3)

Таким образом, нули функции T{s) Представляют собой ,нули пассивной передаточной функции в прямом направлении /12(5),

-lni"

RC-цт

1>

НС-цепь

Рис. 4.1. Низкодобротные функциональные узлы.

а-с отрицательной обратной связью при использовании ОУ в режиме с разомкнутой петлей обратной связи, б - с положительной обратной связью при использовании ОУ в режиме с единичным коэффициентом усиления

а ее полюсы - нули пассивной передаточной функции обратной

связи 32 (s).

При введении параметра Р, который представляет собой коэффициент усиления ОУ с замкнутой петлей обратной связи, получаем для цепи с положительной обратной связью (или класс-4)

Г(5) = =.= Р-4-. (4.4)

1~Р32(5)

) Moschytz G. S, Linear Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reinliold Co., New York, 1975, p. 133.