/(<?)= 2 П (g-gj) П igi-qj), (4.1)

где д - заданное значение аргумента прн нитерполяцин между равноотствящн-мн или неравноотстоящнми узлами интерполяции gt.

Программа 157. Интерполяция табулированной функции x{qi) с т<10 (т 11 для ЯМК52) узлами по формуле Лагранжа

ПВ Сх t t ПС С/П ИПД

1 - ПА кипе КИПА - ХфО 25

ИПВ КИПА - X t ИПА х=0 10

+ ИПС 1 + f ИПД - х=0 04

БП 04

Инструкция. (до = РО. gi = P\, 92=Р2..... 9п = Рл; т=п+1=РД)

д=РХ В/О С/П РХ = 0, а;„ = РХ С/П (/«(5-)-4т) с) д:,=РХ С/П д:2=РХ С/П ... jt„ = PX С/П PX=f{g). Для ЯМК52 при mll заменить обращения к регистрам А, В, С и Д соответственно обращениями к регистрам В, С, Д и Е.

Пример. Для характеристики, показанной на рнс. 20, при /(0)=0, /(0,3) = = 8 мА, /(0,4) =20 мА, /(0,6) =64 мА, получим /(0,2) «1,33 мА, /(0,5)« «38,33 мА.

Вычисления по формуле Лагранжа удобны лишь при необходимости определения небольшого числа значений х{д), когда не требуется аналитическое выражение аппроксимирующей функции. В противном случае используют интерполирующий многочлен Ньютона

f{q) = X„+ <х, П (q-qj). i=\ /=0

но обычно удобнее представлять его в обычной форме степенного многочлена /(*) =ang"+an-iq"- + ... + aig+ao.

Вычисление коэффициентов многочлена Ньютона и степенного многочлена, а также коэффициентов степенного многочлена н f{g) прн смещении аргумента г - д+1 для равноотстоящих или иеравноотстоящнх узлов иитериолнроваиия удается автоматизировать с помощью одной программы.

Программа 158. Вычисление коэффициентов а,- многочлена Ньютона, коэффициентов щ многочлена f{g) и его значений, а также коэффициентов at многочлена f{g+l) и его значеннй прн произвольном расположении тб узлов qi интерполяции

ПД П7 7 П1 1 4 ПО С/П П8

ИПЗ КИПО - ИПО 5 - ПО

КИПО ИП1 ИП1 9

КИП1 ИП1 t

- х=0

- хфО X - ИПЗ -ИП9 П1

- ИПО

из 7

79 КИПО

ИП1 2

х=0 56

Сх ИПЗ

L1 85

+ ПО 6 -

КП1 ИПЗ КПО БП

05 П1

ИПО 2 ПО

Инструкция. x„=PY, (7о=РХ В/О С/П a;, = PY, 9, = РХ С/П ... х„ = = PY, дп = РХ С/П Р7=ао, Рб=а,, Р5 = а2, Р2 = а„, РД=9о, РС=9,,

X 79

КИП1

КИПО

РВ=(?2, P8=<7n; для вычисления коэффициентов степенного многочлена БП 4 О С/П Р7=ао, Рб = а,, Р5=а2, -, Р2=а5, Р8 = 8-л; для вычислений f{q) выполнять (т=Р9) q=PX С/П РХ=/(9); для вычисления коэффициентов многочлена f(q+l) выполнить = РД = РС = ... = Р(14-); 7-п=Р1 БП 4 О

С/П Р7=ао, Р6=а...... Р2=а5; для вычисления /(9+1) выполнять (п+1 =

= т = Р9) z=(?--g=PX С/П PX=/(z).

Пример. Для исходных данных из примера к программе 157 получим /(0,2) = 1,333333 мА, /(0,5) =38,333335 мА.

Вычисления упрощаются при равноотстоящих узлах табличной модели с шагом h = qi-qi-i. Формулу Лагранжа можно записать в виде

где ni+i(k)=k{k-l)...{k-n); Cn=n\/i\(n-{)\; fe= (9-90)/Л - нормированное значение аргумента в точке интерполяции. В этом случае не требуется хранить в памяти значения узлов интерполяции, что упрощает автоматизацию вычислений при произвольном числе узлов.

Программа 159. Интерполяция по формуле Лагранжа табулированных функций x(qi) с произвольным числом m равноотстоящих узлов с шагом Л

ИП7 ПД ИП8 ПО я X cos П9 X -f-ПС 1 П2 П5 ИПб С/П ИП7 ИПб - f ИПД X ПД -г ИПО /-/ ИПО X П9

X ИП9 ИП2 X П2 - ипс + ПС КИПб КИПО ИПО х=о 14 ИПС ИПД X ига С/П

Инструкция. Переключатель Р-ГРД-Г установить в положение Р. k={q-qo)/h = P7, /1 = Р8, а;о=РХ В/О С/П РХ=1, а;, = РХ С/П РХ=2, Х2= = РХ С/П ... jc„=PX С/П PX=l(q).

Пример. Для характеристики, показанной на рис. 20, при /(0)=0, /(0,2) = =4 мА, /(0,4) =20 мА, /(0,6) =64 мА и fe = l,5 н fe=0,5/0,2=2,5 соответственно получим /(0,3) =9,5 мА и /(0,5) =37,5 мА.

При равноотстоящих узлах интерполяции многочленом Ньютона и соответствующими степенными многочленами снижаются ограничения на максимальное число узлов.

Программа 160. Вычисление коэффициентов а; многочлена Ньютона, коэффициентов щ и значений f{z) степенного многочлена аргумента z=q-l прн ffilO (mll для ЯМК62) равноотстоящих узлах интерполяции

ПА Сх ПД КИПД ПВ ИПД 1 -f ПС ИПД 1 + ПД ИПВ КИПД ПВ - ИПС

КПД ИПД ИПА - х=0 09 ИПС ПД ИПА - х=0 03 ИПА 1 - ПС ПВ ИПВ 1 -f

ПД КИПВ КИПД ипс X - КПВ ИПВ 1 + ПВ ИПА - х=0 37 ИПС 1 - х=0 36 ПД С/П ПВ КИПД ипс - кпд С/П ипс ИПВ X ПС ИПД 1 -f ПД БП 63 t 1

t Сх t X КИПД + ИПД 1 -

ПД х<0 83 С/П БП 78

Инструкция. Jto = PO, Jti = Pl..... лг„ = Рп, n-PX В/О С/П РХ = 0

(РО=Оо, Р1=а,..... Рп = ап) Л = РХ С/П РХ = РО=ао С/П РХ=Р1=а,, ....

С/П PX=Pfi = a„; для вычисления интерполирующего многочлена (п=РД) гд-до = РХ БП 7 8 С/П PX=f(9).

Пример. Для характеристики, показанной иа рис. 20, прн /(0)=0, /(0,2) = «=4 мА, /(0,4) =20 мА, /(0,6) =64 мА получим ао=0, а, =3,3333332, 02 = = 1,9999998, аз=2,6666666 и ао = 0, а,= 16,666666, 02=-49,999996, аз = = 333,33332, для которых /(0,3) =9,5 мА, /(0,5) =37,5 мА, /(0,7) = 101,5 мА.

Для интерполирования нелинейных табулированных функций при точном задании исходных данных можно использовать кубические сплайны [15]. Для приближенной аппроксимации монотонных или одноэкстремальных функций используют аппроксимирующие функции с иебольщим числом параметров [15]. Наиболее общей является аппроксимация нелинейных зависимостей степенными многочленами при надлежащем выборе отсчетов, по которым выполняется интерполяция. Точность аппроксимации выбранной функции обычно оценивают по среднему квадратнческому отклонению аппроксимирующей функции f(q) от аппроксимируемой x{q) в узлах qr.

a = l{x(qi)-f(qi)y. 1=0

Коэффициенты многочленов небольшой степени, аппроксимирующих табулированную функцию при минимальном отклонении а, могут быть найдены по методу наименьших квадратов решением системы уравнений

т Iqi

2q( "qf

(4.2)

составляемой для произвольного числа m>-s отсчетов x(qi) в узлах qi. В этом случае точность аппроксимации зависит от степени аппроксимируемого многочлена.

Программа 161. Вычисление по методу наименьших квадратов коэффициентов функции f{q)=aiq+ao, аппроксимирующей табулированную функцию x{qi) с произвольным числом произвольно расположенных узлов

Сх ПЗ П4 П5 П6 П7 ПЗ

X ИП7 + П7 ИПЗ ИП5 + П5 х ИПЗ + ПЗ ИП9 ИП6 + П6 КИП4 ИП4 С/П БП 08 ИП6 ИПЗ X ИП7 ИП5 X -ИП4 ИПЗ X ИП5 х2 ~ П2 -f- ПО ИП7 X ИП5 ИП6 X - ИП2 П1 ИП1 X ИПО + БП 59

Инструкция. jto = PY, qo=PX В/О С/П РХ=1, a;i = PY, 9i = PX С/П (<«7 с) РХ=2 ... jc„ = PY, 9п = РХ С/П PX=rt-bl=m {P3 = 2q\ P4 = m. P5=S9i, P6=Xxi, P7=lxiqi) БП 3 3 С/П («12 c) PX = Pl=ai, PY=«PO= =ao; для вычислений q~PX С/П PX=f{q).