ИП7 ПО Сх ПВ ПП 40 ПС ИПВ ПД ИП8 ПО Сх ПВ ПП 62 t х2 ИПВ х + ПА ИПВ Вх -f- П6 ИПД X ИПА ИПС X + ПО ИПА ИПД X ИПС БП 59 ИПА + ПА КИПО ИПО х>0 67 ИПВ П6 ИП1 X ИПА ИП2 X + ПВ ИПА ИП1 Х ИП2 ИПб X - ПА ИПО С/П БП 39 ИПА В/О

Инструкция. (а = Р], о) = Р2, п = Р7, т = Р8) а„ = РХ В/О С/П РХ = = п-1, а„-1 = РХ С/П РХ = п-2 ... ао = РХ С/П РХ = т, 6;„ = РХ С/П РХ = = т-1, 6т , = РХ С/П РХ=/п-2..... 6о = РХ С/П PX=ReF{p), PY=Imf(p).

Пример. F (2+j 1) = {р + 2р+1) / (Зр+2/Я+р+0,5) =0,1863999-jO, 12612384,

Вычисление комплексных значений функций (3.13) с небольшими степенями числителя и знаменателя можно полностью автоматизировать.

Программа 117. Вычисление комплексного значения функции цепи при я<3, т<4

ПВ *-> ПА ИП7 ИП8 ПП 47 ИПб ПП 54 ИПб + ПС ИПО ПД ИПЗ ИП4 ПП 47 ИП2 ПП 64 ИП1 ПП 54 ИПО + х ИПО х2 +4- ПА ИПО Вх ПВ ИПС П9 ИПД ПП бб ИП9 С/П БП 00 f ИПВ X П9 ИПА X + t ИПВ X ИПА ИПО

X + ИП9 « П9 ИПВ X ИПА

X - В/О

Инструкция. (&о = Р0, 6i = Pl, 62 = Р2, 6з = РЗ, 64 = Р4, ао = Р5, а,= = Р6, а2 = Р7) аз = Р8; вместо отсутствующих коэффициентов прн п<3, т<4 ввести нули; 0=Р9, а=РУ, w = PX (В/О) С/П PX=PA=Ref(р), РУ=РВ = = Imf(p), РС = РеЛ(р), рд = 1тЛ(р); /«70 с.

Для проверки правильности выполнения программы и инструкции можно воспользоваться примером к предыдущей программе. При необходимости вывода результата в тригонометрической форме эту программу, как и предыдущие программы вычисления комплексных значений многочленов и их отношений, следует дополнить фрагментом из программы 16, записав его перед оператором С/П и соответственно изменив адреса переходов.

3.4. Решение алгебраических уравнений

В ряде задач анализа и синтеза линейных цепей требуется представлять функцию цепи (3.13) через произведения множителей первого или второго порядка числителя и знаменателя:

П (Р -Ро,) П {ai р + аи P + Ooi)

F(p)=.h--. (3.14)

П (р-РпО П (biP + buP + boi) 1=0 (=0

причем в некоторых множителях второго порядка коэффициенты при могут быть равными нулю.

Значения аргумента р-ры и p=p„i, при которых многочлены числителя и знаменателя равны нулю, называют нулями соответствующих многочленов или соответственно нулями и полюсами функции F(p). Нули многочленов А{р) и В(р) равны корням алгебраических уравнений А{р)=0 и S(p)=0, и, следовательно, составление формулы (3.14) в общем случае сводится к поиску решений (корней) алгебраических уравнений вида Л(р)=0, называемых также корнями многочлена А{р) [4].

Полное число корней р/, включая совпадающие (кратные), равно степени п многочлена:

Л(р)= V а,-р = а„ П (P-Pi), (3.15)

(=0 1=1

причем на плоскости комплексной частоты p = a-l-j(o вещественные корни (л расположены на вещественной оси, а пары комплексно-сопряженных корней Pi. 1 + 1 = а,, , + i±j(i)i, i + i - симметричное относительно вещественной осн. Точное число вещественных корней определяют по методу Штурма [4], но многочлен нечетной степени ге имеет по крайней мере один вещественный корень.

Все корни многочлена расположены на плоскости р внутри кругового кольца, ограниченного окружностями с центрами в начале координат и радиусами:

« = l+l«maxl/n, •=1/(1+<ах/«о), (3-16)

где flmax " тах~~ иаибольщий по модулю коэффициент многочлена, за исключением соответственно коэффициентов Оп и ао. Для вещественных корней интервал (-R, R) часто удается сузить, используя теорему Декарта, согласно которой верхняя граница положительных корней т

/? = 1 + Уат а„, (3.17)

где т=1, 2, п - номер первого отрицательного коэффициента многочлена А(р), начиная от ап>0, а Um - наибольший по модулю отрицательный коэффициент. Нижняя граница положительных корней r-\IR, где R определяется по формуле (3.17) для многочлена р"Л(1/р). Аналогично нижняя граница отрицательных корней определяется как -R, где R вычисляют по формуле (3.17) для многочлена А{-р), а верхняя граница отрицательных корней г = - XfR, где R определяют по формуле (3.17) для многочлена р"Л (-1/р). Если все коэффициенты многочлена А (р) положительные, то он не имеет вещественных положительных корней, хотя может иметь комплексно-сопряженные корни в правой полуплоскости комплексной переменной р.

В качестве примера рассмотрим уравнение

Л (р) = р + 9рб + 36р5 + 80р -(-1 ОЗрз + 95р2+68р+24 = О, корни которого согласно формулам (3.15) находятся внутри кругового кольца с /? = 80 и /- = 0,159. Для многочлена -Л (-р) =р-9р«+35р5 65р*+79р- -71р2+47р-15 с а7>0 по формуле (3.16) определяем нижнюю границу отрицательных корней -/? = - (!-1-у9) =-4 и для многочлена рЛ (-1/р) = 15 (р- -47р«/15 -ь 71 pV 15-79pV 15 + 65рУ 15-35р2/15 -1- 9р/15-1/15) находим верхнюю границу -(1/1 + /47/15) = -0,361. Следовательно, вещественные корни нахо-

ДЯТСЯ в значительно более узком интервале, чем определяемом по формулам (3.15). Действительно, многочлен А(р) = (рЛ-\){р+\){р+3){р+2 + + ]2)(р+2 - j2)(p+il)(p-jl) = (p+l)2(p+3)X X (р+4р+8) (р2+1) имеет три вещественных корня, два из которых образуют корень кратности 2 и четыре комплексно-сопряженных кория, два из которых расположены на оси }(0 (рнс. 14).

Точность решения алгебраического уравнения А(р) = 0 обычно оценивают по значению левой части уравнения (невязке) прн подстановке корня p=Pi. Однако при расчетах на ЭВМ в связи с операционными погрешностями вычислений при ограниченной разрядности операндов даже нулевое значение невязки не всегда свидетельствует

о точном вычислении кория. Особенные трудности возникают при решении уравнений со значительно отличающимися по порядку коэффициентами и, как следствие, значениями корней. В этих случаях достижимая точность вычисления корней и иевязок уравнений зависит ие только от метода решения уравнений, ио и от последовательности выполняемых операций.

Если в последовательности коэффициентов многочлена

Чп, (in-i.....am »am i,. . ., щ > a; i,. . . , Oj, ао (3.18)

имеются значительно отличающиеся по порядку соседние коэффициенты, то соответствующее уравнение можно приближенно заменить совокупностью уравнений низшего порядка a„p"-"--...-l-am-np-f-am=0, amP"~-f...-l-a;-i-iP-l-ai=0, aip+... + aip+ао, что существенно упрощает решение исходного уравнения.

Например, уравнение /7+lOOOOOp-f 9=0 можно приближенно представить линейными уравнениями рЧ-Ю 000 = 0 и р--9/100 000 = 0 с корнями ai = =-100 000, 02=-9-10- и невязками (при вычислении иа 8-разрядном микро-калькуляторе) Л (о,) =9 и Л(а2)=0. Аналогично кубическое уравнение р+ -I-1,58-10V+83,25p-2,24-10-3=0 целесообразно разложить иа два уравнения p-f 1,58-106=0 и р»-1-5,2689873-10-5р-1,4177215-10-»=0 с корнями ai = =-1,58•10 02= 1,9609141 •10- аз=-7,2299013-10- и вычисленными по исходному уравнению невязками Л (а,) =-8,2588928.10-\ 4(а2)=0, Л(аз) = =-2-10».

Решение алгебраических уравнений степени л4 можно найти точными (по формулам с точно известным числом операций) методами. Корни уравнения второй степени a2p+aip+ao=() обычно вычисляют по формуле

Pi.2== -ai/2aj ± У (ai/2as)* -а„/а,, (3.19)

легко реализуемой иа входных языках микрокалькуляторов.

Программа 118. Вычисление корней уравнений a2p-f aip-l-ao=0 с соизмеримыми коэффициентами

П9 П8 П7 - 2 ~ /-/ П6

X» ИП9 ИП7 -4 - х>0 25 / ИПб

- Вх ИПб + С/П f +/ - ИПб С/П